UrokDesk
ВойтиСоздать кабинет

Математика · 8 класс

Квадратные уравнения для 8 класса

Неполные уравнения, дискриминант, формула корней и теорема Виета. 32 задания с объяснениями, онлайн-тренировка и отдельные листы заданий и ответов.

Потренируйся самостоятельно

В занятии 8 вопросов. Можно выбрать отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Как решать квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. В этой тренировке ищем действительные корни. До применения формулы перенеси все слагаемые в одну часть и приведи подобные; коэффициенты выпиши вместе со знаками.

Если b = 0 или c = 0, уравнение неполное. Пример: x² − 5x = 0. Вынесем x: x(x − 5) = 0. Корни 0 и 5. Делить на x нельзя без отдельного рассмотрения x = 0: так можно потерять корень.

Если x² = 9, корни −3 и 3. Если x² = 0, корень один — 0. Если x² = −9, действительных корней нет. Арифметический квадратный корень √9 равен 3, но уравнение x² = 9 имеет два корня.

Дискриминант D = b² − 4ac. При D > 0 два различных корня: x₁ = −b − √D2a, x₂ = −b + √D2a. При D = 0 один различный корень x = −b2a. При D < 0 действительных корней нет. Знаменатель 2a относится ко всему числителю.

Пример: 2x² − 5x + 2 = 0. D = (−5)² − 4 · 2 · 2 = 9. Тогда x = 5 ± 34: корни 12 и 2. Подстановка каждого корня должна дать ноль.

По теореме Виета для действительных корней x₁ + x₂ = −ba, x₁ · x₂ = ca. Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 это −p и q. Пример: у x² − 6x + 8 = 0 корни 2 и 4, их сумма 6, произведение 8.

В заданиях на полное множество корней сначала реши в тетради, затем выбери подходящий вариант. Такой выбор помогает проверить ответ, но не оценивает самостоятельную запись формулы и ход решения. Дискриминант, число корней и ответы в задачах вводятся числом.

Набор не включает уравнения с параметром, биквадратные и дробно-рациональные уравнения. В текстовой задаче отбирай корень по смыслу: например, длина должна быть положительной.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение. Для занятия на бумаге выбери тему в тренажёре и нажми «Распечатать задания»; ключ можно распечатать отдельно.

Неполные уравнения

Сначала реши в тетради. Затем выбери вариант, содержащий все корни. Помни о нуле и об отрицательном корне уравнения x² = a при a > 0.

  1. Реши уравнение x² − 16 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 4 · x = −4 или x = 4 · x = −8 или x = 8 · Нет действительных корней

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −4 или x = 4

    x² = 16. Подходят два числа: −4 и 4, потому что квадрат каждого равен 16. Один положительный корень — неполный ответ.

  2. Реши уравнение x² + 9 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −3 или x = 3 · x = 0 · Нет действительных корней · x = 3

    Ответ и объяснение

    Ответ: Нет действительных корней

    x² = −9. Квадрат действительного числа неотрицателен, поэтому действительных корней нет.

  3. Реши уравнение 3x² = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 0 · Нет действительных корней · x = −3 или x = 3 · x = 3

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = 0

    После деления на 3 получаем x² = 0. Единственный различный корень — 0.

  4. Реши уравнение x² − 7x = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 7 · x = −7 или x = 7 · Нет действительных корней · x = 0 или x = 7

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = 0 или x = 7

    Вынеси x: x(x − 7) = 0. Хотя бы один множитель равен нулю, поэтому x = 0 или x = 7. Деление на x потеряло бы нулевой корень.

  5. Реши уравнение 2x² + 6x = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 0 или x = 3 · x = −3 или x = 0 · x = −3 · Нет действительных корней

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −3 или x = 0

    2x(x + 3) = 0. Отсюда x = 0 или x = −3. Оба значения обращают исходную левую часть в ноль.

  6. Реши уравнение 4x² − 1 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −2 или x = 2 · x = 12 · x = −12 или x = 12 · Нет действительных корней

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −12 или x = 12

    4x² = 1, x² = 14. Поэтому x = −12 или x = 12.

  7. Реши уравнение x² − 3 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −√3 или x = √3 · x = 3 · x = −3 или x = 3 · Нет действительных корней

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −√3 или x = √3

    x² = 3. Два действительных корня: −√3 и √3. Их нельзя заменять приближёнными десятичными числами, если требуется точный ответ.

  8. Реши уравнение −2x² + 18 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: Нет действительных корней · x = 3 · x = −9 или x = 9 · x = −3 или x = 3

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −3 или x = 3

    Раздели обе части на −2: x² − 9 = 0. Тогда x² = 9 и x = −3 или x = 3.

Потренировать эту тему →

Дискриминант и число корней

Выпиши коэффициенты со знаками. Вычисли D = b² − 4ac. Различай сам дискриминант и количество различных действительных корней.

  1. Вычисли дискриминант уравнения x² − 5x + 6 = 0. Запиши D.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 1

    a = 1, b = −5, c = 6. D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1.

  2. Вычисли дискриминант уравнения 2x² + 3x − 2 = 0. Запиши D.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 25

    a = 2, b = 3, c = −2. D = 3² − 4 · 2 · (−2) = 9 + 16 = 25.

  3. Вычисли дискриминант уравнения x² + 6x + 9 = 0. Запиши D.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 0

    D = 6² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0. Уравнение имеет один различный действительный корень.

  4. Вычисли дискриминант уравнения 3x² + 2x + 2 = 0. Запиши D.

    Ответ и объяснение

    Ответ: -20

    D = 2² − 4 · 3 · 2 = 4 − 24 = −20. Дискриминант может быть отрицательным.

  5. Сколько различных действительных корней имеет уравнение x² + x − 1 = 0? Запиши число.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 2

    D = 1² − 4 · 1 · (−1) = 5 > 0, значит, два различных действительных корня.

  6. Сколько различных действительных корней имеет уравнение x² − 4x + 4 = 0? Запиши число.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 1

    D = (−4)² − 4 · 1 · 4 = 0. Корень один: x = 2. Двукратность корня не означает два различных числа.

  7. Сколько различных действительных корней имеет уравнение 2x² − 2x + 3 = 0? Запиши число.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 0

    D = (−2)² − 4 · 2 · 3 = −20 < 0. Действительных корней нет, их количество — 0.

  8. Сколько различных действительных корней имеет уравнение x² − 7 = 0? Запиши число.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 2

    D = 0² − 4 · 1 · (−7) = 28 > 0. Корни −√7 и √7 различны.

Потренировать эту тему →

Формула корней

Реши уравнение в тетради и выбери полное множество корней. Есть дробные и иррациональные корни; приближённые вычисления здесь не нужны.

  1. Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 2 или x = 3 · x = −3 или x = −2 · x = 3 · x = 1 или x = 6

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = 2 или x = 3

    D = 25 − 24 = 1. По формуле x = 5 ± 12. Корни: 2 и 3. Проверка по Виету: сумма 5, произведение 6.

  2. Реши уравнение 2x² + x − 3 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −1 или x = 32 · x = 1 · x = −32 или x = 1 · x = −3 или x = 2

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −32 или x = 1

    D = 1 + 24 = 25. x = −1 ± 54. Корни: −32 и 1. Знаменатель формулы равен 2a = 4.

  3. Реши уравнение x² + 4x + 4 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 2 · x = −2 · x = −2 или x = 2 · Нет действительных корней

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −2

    D = 16 − 16 = 0. Единственный различный корень x = −42 = −2. Также x² + 4x + 4 = (x + 2)².

  4. Реши уравнение x² + 2x + 5 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −5 или x = 1 · x = −1 · x = −√5 или x = √5 · Нет действительных корней

    Ответ и объяснение

    Ответ: Нет действительных корней

    D = 4 − 20 = −16. Действительных корней нет. Не извлекай действительный квадратный корень из отрицательного числа.

  5. Реши уравнение x² − 2x − 2 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 1−√3 или x = 1+√3 · x = −√3 или x = √3 · x = −1−√3 или x = −1+√3 · x = 1+√3

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = 1−√3 или x = 1+√3

    D = 4 + 8 = 12, √12 = 2√3. x = 2 ± 2√32 = 1 ± √3. Нужны оба корня.

  6. Реши уравнение x² − 3x − 2 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = 3−√172 · x = −3−√172 или x = −3+√172 · x = 3−√172 или x = 3+√172 · x = 3−√17 или x = 3+√17

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = 3−√172 или x = 3+√172

    D = 9 + 8 = 17. Корни: 3 − √172 и 3 + √172. Делить на 2 нужно весь числитель.

  7. Реши уравнение 3x² − 7x + 2 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −2 или x = −13 · x = 13 или x = 2 · x = 1 или x = 23 · x = 2

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = 13 или x = 2

    D = 49 − 24 = 25. x = 7 ± 56, поэтому x = 13 или x = 2.

  8. Реши уравнение −x² + 3x + 4 = 0 в действительных числах. Выбери все его корни одним вариантом.

    Варианты: x = −4 или x = 1 · x = 1 или x = 4 · x = 4 · x = −1 или x = 4

    Ответ и объяснение

    Ответ: x = −1 или x = 4

    Умножь обе части на −1: x² − 3x − 4 = 0. D = 9 + 16 = 25. Корни −1 и 4; их сумма 3, произведение −4.

Потренировать эту тему →

Теорема Виета и задачи

Учитывай старший коэффициент в формулах Виета. В текстовой задаче выбери подходящий по смыслу корень и запиши числовой ответ.

  1. Не находя корни уравнения x² − 7x + 10 = 0, найди их сумму.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7

    По теореме Виета сумма корней приведённого уравнения равна противоположному коэффициенту при x: −(−7) = 7. D = 9 > 0, корни существуют.

  2. Найди произведение корней уравнения 2x² − 3x − 2 = 0.

    Ответ и объяснение

    Ответ: -1

    Произведение корней равно ca = −22 = −1. Нельзя брать только c, если a не равно 1. D = 25 > 0.

  3. Один корень уравнения x² − 9x + 20 = 0 равен 4. Найди второй корень.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    Сумма корней равна 9: второй корень 9 − 4 = 5. Проверка произведения: 4 · 5 = 20.

  4. Один корень уравнения 3x² + 2x − 1 = 0 равен −1. Найди второй корень. Ответ запиши обыкновенной дробью. Равные дроби принимаются.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 13

    Произведение корней равно −13. Раздели его на известный корень −1: второй корень 13. Сумма равна −23.

  5. Уравнение x² + bx − 10 = 0 имеет корни −2 и 5. Найди b.

    Ответ и объяснение

    Ответ: -3

    Сумма корней равна 3. По теореме Виета −b = 3, значит, b = −3. Произведение (−2) · 5 = −10 согласуется с условием.

  6. Корни уравнения x² + 7x + c = 0 равны −3 и −4. Найди c.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 12

    Для приведённого уравнения c равно произведению корней: (−3) · (−4) = 12. Их сумма −7 совпадает с противоположным коэффициентом при x.

  7. Площадь прямоугольника 40 см², длина на 3 см больше ширины. Найди ширину в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    Пусть ширина x > 0. Тогда x(x + 3) = 40, то есть x² + 3x − 40 = 0. Корни −8 и 5. Отрицательное число не подходит для длины; ширина 5 см.

  8. Произведение двух последовательных положительных целых чисел равно 56. Найди меньшее число.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7

    Пусть меньшее число x > 0. Тогда x(x + 1) = 56. Корни x² + x − 56 = 0 равны −8 и 7. Положительным является 7; проверка: 7 · 8 = 56.

Потренировать эту тему →

Как использовать материал

Ученику: выбери тему, реши восемь заданий, изучи объяснения и отдельно повтори ошибки. Родителю: попроси ребёнка объяснить один способ решения своими словами. Репетитору: возьми набор для короткого повторения, измени условия при необходимости и выдай персональное ДЗ.

Как записывать ответ?

Дискриминант, число корней и ответы на задачи вводи числом. В остальных заданиях выбери один вариант, содержащий полное множество действительных корней. Для обыкновенной дроби предусмотрены отдельные поля числителя и знаменателя. Проверка сравнивает точные числовые значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 43; результаты, с. 46; тематический план, с. 57. Дата сверки — 23 сентября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется числовой ответ либо выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Выполнена авторская проверка банка; независимая предметная рецензия не проводилась.

Продолжить: Обыкновенные дроби · 5 класс · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · генератор математических примеров · все бесплатные инструменты.