Информатика · 10 класс
Алгебра логики — импликация, эквиваленция и таблицы для 10 класса
Вычисли составное выражение по действиям, сравни таблицы и проверь все значения из заданной области. Отличай ложную посылку импликации от ложного значения всей формулы.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Для логического значения введи 0 или 1. Для вектора — цифры в заданном порядке; пробелы или запятые допустимы. Число решений введи в десятичной системе. В паре B, C первая цифра относится к B.
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
Порядок и смысл операций
Импликация
A → B ложна только при истинной посылке A и ложном следствии B. Если A ложно, импликация истинна при любом B. Для составной посылки сначала вычисли её значение целиком.
Эквиваленция
A ↔ B истинна при одинаковых логических значениях A и B. Сравниваются значения, а не написание выражений. Здесь 1 обозначает истину, 0 — ложь; ¬ — отрицание, ∧ — И, ∨ — ИЛИ.
Таблица и эквивалентность
Перечисли все наборы значений переменных без повторов. Вычисляй отдельный столбец для каждого промежуточного выражения. Две формулы эквивалентны, если совпали их значения во всех строках; одной совпавшей строки недостаточно. Законы логики позволяют преобразовать формулу, но результат всё равно можно проверить таблицей.
Предикат и область
Условие с переменной становится высказыванием после подстановки её значения. Проверяй только заданную область. Для ложности импликации нужны одновременно истинная посылка и ложное следствие; отрицание нестрогого неравенства меняет и направление, и включение границы.
Разберём на примерах
Известны P = 1 и Q = 0. Вычисли (P → Q) ∨ ¬P.
Импликация 1 → 0 ложна; ¬P также ложно. Дизъюнкция двух нулей даёт 0. Сначала получены значения частей, затем выполнена внешняя операция.
10 класс, базовый уровень: составные выражения с импликацией и эквиваленцией, таблицы и эквивалентность, простые логические уравнения и предикаты на конечной области целых. Соответствие конкретным заданиям ЕГЭ не заявляется.
Промежуточные шаги
| Действие | Проверка |
|---|---|
| Скобки | Вычисли внутреннюю формулу |
| Отрицание | Замени значение противоположным |
| Импликация | Проверь посылку и следствие |
| Эквиваленция | Сравни два полученных значения |
| Множество решений | Подставь все значения из области |
Скобки в заданиях задают порядок явно. Вектор таблицы записывается строго в указанном порядке строк; это последовательность значений функции, а не перевод числа в систему счисления.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание, затем открой ответ. Для печати выбери группу или смешанный набор: задания выбранного набора на листе ученика и отдельный ключ с объяснениями.
Значение составной формулы
Сначала получи значения частей, затем внешней операции.
A = 0, B = 0, C = 0. Вычисли F = (A → B) ↔ ¬C. Введи 0 или 1.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
При ложной посылке импликация 0 → 0 истинна. Отрицание C равно 1. Получаем 1 ↔ 1 = 1.
A = 0, B = 0, C = 0. Вычисли F = (A ↔ B) → C. Введи 0 или 1.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
A ↔ B = 1. Посылка внешней импликации истинна, а заключение ложно, поэтому 1 → 0 = 0.
A = 1, B = 0, C = 1. Вычисли F = ¬(A → B) ∧ (B ↔ C). Введи 0 или 1.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
A → B = 1 → 0 = 0; отрицание равно 1. B ↔ C = 0 ↔ 1 = 0. Конъюнкция 1 ∧ 0 даёт 0.
A = 1, B = 0, C = 1. Вычисли F = (A ↔ C) ∨ (¬B ∧ C). Введи 0 или 1.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
A ↔ C = 1 ↔ 1 = 1. Вторая часть 1 ∧ 1 = 1. Итого 1 ∨ 1 = 1.
Строки таблицы истинности
Не пропускай наборы, при которых посылка ложна.
Для F = (A → B) ∧ ¬B запиши четыре значения F в порядке строк (A,B): 00, 01, 10, 11. Введи вектор из четырёх цифр.
Ответ и объяснение
Ответ: 1000
В строках 00, 01, 10, 11 импликация даёт 1,1,0,1, а ¬B — 1,0,1,0. Их конъюнкция: 1,0,0,0.
Для F = (A ↔ B) ∨ B запиши четыре значения F в порядке строк (A,B): 00, 01, 10, 11. Введи вектор из четырёх цифр.
Ответ и объяснение
Ответ: 1101
Эквиваленция даёт 1,0,0,1. Дизъюнкция с B по строкам даёт 1,1,0,1.
Переменные A, B, C принимают значения 0 или 1. Сколько наборов удовлетворяют (A → B) ∧ (B → C) = 1? Введи число наборов.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Обе импликации истинны на наборах 000, 001, 011, 111. При A = 1 требуется B = 1, а тогда C = 1; при A = 0 остаются три допустимых пары B,C. Всего 4.
Известно A = 0 и (B → A) ∧ (B ↔ ¬C) = 1. Найди единственную пару B, C. Введи две цифры в порядке B, затем C.
Ответ и объяснение
Ответ: 01
При A = 0 импликация B → A истинна только при B = 0. Тогда B ↔ ¬C требует ¬C = 0, то есть C = 1. Пара B,C: 01.
Сравнение и преобразование
Эквивалентность должна работать при всех допустимых значениях.
X — постоянное логическое значение 0 или 1. При каком X формула (A ↔ 0) ↔ X равна A при обоих значениях A? Введи X.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
A ↔ 0 равна ¬A. Эквиваленция с 0 обращает значение, поэтому (¬A) ↔ 0 = A. При X = 1 получалось бы ¬A.
Сколько пар A,B из значений 0 и 1 удовлетворяют (A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬B) = 1? Введи число пар.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Если A = 0, остаётся B ∧ ¬B, всегда 0. Если A = 1, обе скобки равны 1 независимо от B. Подходят пары 10 и 11: две пары.
Сколько наборов A,B,C из значений 0 и 1 делают ложной формулу (A → B) ∧ (A → C)? Введи число наборов.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
При A = 0 обе импликации истинны. При A = 1 формула равна B ∧ C и ложна на парах 00, 01, 10. Это три набора 100, 101, 110.
Для F = ¬(A ↔ B) ↔ (A ∨ B) запиши значения в порядке строк (A,B): 00, 01, 10, 11. Введи четыре цифры.
Ответ и объяснение
Ответ: 1110
Отрицание эквиваленции даёт 0,1,1,0, дизъюнкция — 0,1,1,1. Сравнение двух столбцов даёт 1,1,1,0.
Логическое условие и целые числа
Учитывай границы области, делимость и ложную посылку.
x — целое число от 0 до 7 включительно. Найди наибольшее x, при котором ((x ≥ 2) ∧ (x ≤ 5)) → (x нечётное) ложно. Введи число.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Посылка истинна при 2 ≤ x ≤ 5. Для ложности импликации следствие должно быть ложным, поэтому x чётное. Подходят 2 и 4; наибольшее — 4.
x — целое число от 1 до 8 включительно. Сколько значений делают истинным (x делится на 3) ↔ (x ≥ 4)? Введи количество.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
При 1 и 2 оба утверждения ложны; при 6 оба истинны. При 3 они различаются, как и при 4,5,7,8. Подходят 1,2,6: три значения.
x — целое число от 1 до 9 включительно. Сколько значений делают истинным (x ≤ 4) → ((x нечётное) ∧ (x > 2))? Введи количество.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Среди 1,2,3,4 посылка истинна, следствие истинно только при 3. Для 5,6,7,8,9 посылка ложна, поэтому импликация истинна. Всего 1 + 5 = 6 значений.
x — целое число от 0 до 9 включительно. Сколько значений делают ложным ((x ≥ 3) ∧ (x ≤ 7)) ↔ (x нечётное)? Введи количество.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Ложность эквиваленции означает разные значения частей. Это происходит при x = 1,4,6,9: вне интервала нечётные и внутри интервала чётные. Всего четыре.
Две письменные работы
Покажи промежуточные столбцы и объясни границы множества решений.
Построй полные таблицы для F = (A → B) ∨ (¬B ∧ C) и G = ¬(A ∧ ¬B) ∨ C. Используй порядок A,B,C: 000,001,010,011,100,101,110,111. Покажи промежуточные столбцы, сравни F и G во всех строках, найди число истинных строк. Объясни результат отдельно для A = 0 и A = 1.
Разбор и ориентиры для проверки
При A = 0 обе формулы равны 1 независимо от B,C. При A = 1 первая формула равна B ∨ (¬B ∧ C) = B ∨ C, как и вторая. Итоговые столбцы F и G в заданном порядке: 11110111. Формулы эквивалентны; истинных строк семь. Для F вычисли A → B, ¬B и ¬B ∧ C; для G — ¬B, A ∧ ¬B и его отрицание; затем внешние дизъюнкции.
Проверь: Один балл за восемь различных наборов и промежуточные столбцы, один за оба итоговых столбца, один за вывод об эквивалентности и число истинных строк, один за объяснение двух случаев A. Допустим иной последовательный порядок с явной подписью строк.
На целых числах x от 1 до 12 включительно рассмотрим F = (x чётное) → ((x > 4) ∧ (x < 11)). Найди все значения с F = 0 и с F = 1. Запиши отрицание F через И, ИЛИ и неравенства, без знака импликации. Проверь в этой форме граничные значения 4 и 11. Объясни, что происходит при нечётном x.
Разбор и ориентиры для проверки
F ложно при чётном x вне открытого интервала (4;11): 2,4,12. Истинно при 1,3,5,6,7,8,9,10,11. Отрицание: (x чётное) ∧ ((x ≤ 4) ∨ (x ≥ 11)). При 4 отрицание истинно; при 11 оно ложно из-за нечётности, поэтому F истинно. Для любого нечётного x посылка исходной импликации ложна, значит F истинно.
Проверь: По одному баллу за два полных множества, правильное отрицание, проверку границ и объяснение ложной посылки. Равноправные логические записи и другие точные способы перебора принимаются.
Для самостоятельной работы и урока
Начни с уже изученной группы, пройди выбранный набор и разбери ошибки. Репетитор может изменить набор, сохранить его и выдать приватное ДЗ. Автопроверка оценивает ответ; способ рассуждения полезно обсудить на уроке.
Как записывать ответы?
Для логического значения введи 0 или 1. Для вектора — цифры в заданном порядке; пробелы или запятые допустимы. Число решений введи в десятичной системе. В паре B, C первая цифра относится к B.
Как понимать результат?
Это число верных первых ответов, без перевода в школьную отметку. Повтор ошибок отображается отдельно и не меняет первый результат. Ответы на короткий набор не подтверждают освоение всей темы.
Программа и границы материала
Основа — федеральная рабочая программа. Содержание — по ФРП СОО «Информатика», базовый уровень, 2025: с. 7, 16; тематическое планирование с. 24–25. Документ проверен 11.10.2026. Выбирайте уже пройденные темы по своему учебнику.
Учебник из федерального перечня: Л. Л. Босова, А. Ю. Босова «Информатика. 10 класс», базовый уровень. Законные методические материалы электронного приложения к § 18: операции, таблицы и предикаты; полный параграф печатного издания не прочитан.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 11 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась. Это не официальный вариант ВПР, МЦКО, ОГЭ или ЕГЭ и не полный курс подготовки.
Другие темы для тренировки
Плотность вещества, 7 класс · Валентность, 8 класс · Системы счисления, 8 класс · Химические уравнения, 8 класс · Строение клетки, 5 класс · Часовые зоны, 8 класс · Древний Египет, 5 класс · Чтение чертежа, 5 класс · Haben и sein, 5 класс · Народные промыслы, 5 класс · Скорость, 7 класс · Количество теплоты, 8 класс · Массовая доля, 8 класс · Простые и сложные вещества, 8 класс · Строение цветка, 6 класс · Давление твёрдых тел, 7 класс · Закон Ома, 8 класс · Количество вещества и молярная масса, 8 класс · Методы биологии и микроскоп, 5 класс · Фотосинтез, 6 класс · Грибы, 7 класс · Файлы и каталоги, 7 класс · План местности и азимут, 5 класс · Черви, 8 класс · Расчёты по уравнениям реакций, 8 класс · Счёт лет и исторические источники, 5 класс · Высоты и горизонтали, 5 класс · Среды обитания и приспособления, 5 класс · Географические координаты, 5 класс · Океан, озёра и круговорот, 6 класс · Масштаб, 5 класс · Кодирование изображения и звука, 7 класс · Климатограммы, 7 класс · Литосфера, породы и рельеф, 5 класс · Древняя Греция: полисы и граждане, 5 класс · Реки, 6 класс · Классы неорганических соединений, 8 класс · Ткани растений, 6 класс · Строение корня, 6 класс · Температура, давление и ветер, 6 класс · Древний Рим: республика и империя, 5 класс · Смутное время, 7 класс · Свойства неорганических соединений, 8 класс · Цепочки превращений, 8 класс · Побег и почки, 6 класс · Строение стебля, 6 класс · Строение листа, 6 класс · Погода и климат, 6 класс · Средневековый город и сословия, 6 класс · Материки и океаны: сравнение, 7 класс · Крещение Руси, Ярослав и раздробленность, 6 класс · Реформы Петра I, 8 класс · Первые русские князья, 6 класс · Кислород и воздух, 8 класс · Водород и вода, 8 класс · Семена и прорастание, 6 класс · Плоды и распространение семян, 6 класс · Опыление и оплодотворение, 6 класс · Рельеф, тектоника и ресурсы России, 8 класс · От нашествия к объединению вокруг Москвы, 6 класс · Растворимость, 8 класс · Испарение и транспорт веществ, 6 класс · Строение атома и периодическая система, 8 класс · Водоросли, 7 класс · Мхи: кукушкин лён и сфагнум, 7 класс · Папоротники, хвощи и плауны, 7 класс · Климат, воды, почвы и природные зоны России, 8 класс · Великие открытия, Возрождение и Реформация, 7 класс · Голосеменные растения, 7 класс · Покрытосеменные: классы и семейства, 7 класс · Химическая связь, 8 класс · Логические операции и таблицы истинности, 8 класс · Поиск информации и проверка источников, 7 класс · Население России: плотность, движение и расселение, 8 класс · Иван Грозный и Россия XVI–XVII веков, 7 класс · Бактерии, 7 класс · Лишайники, 7 класс · Степень окисления и ОВР, 8 класс · Просвещение, революции и промышленный переворот, 8 класс · Одноклеточные и простейшие, 8 класс · Кишечнополостные и гидра, 8 класс · Членистоногие, 8 класс · Моллюски, 8 класс · Рыбы, 8 класс · Земноводные, 8 класс · Пресмыкающиеся, 8 класс · Птицы, 8 класс · Млекопитающие, 8 класс · Дворцовые перевороты, Екатерина II и Павел I, 8 класс · Текстовые документы, 7 класс · Растровая и векторная графика, 7 класс · Компьютерные презентации, 7 класс · Линейные программы на Python, 8 класс · Ветвления, циклы и строки Python, 8 класс · Кодирование информации, 7 класс · Алгоритмы, 8 класс · Движения Земли и освещение, 5 класс · Междуречье и Вавилон, 5 класс · Влажность, облака и осадки, 6 класс · Первобытные люди, 5 класс · Биосфера и наблюдения, 6 класс · Древняя Индия, 5 класс · Воздушные массы и пояса, 7 класс · Древний Китай, 5 класс · Устройство компьютера и память, 7 класс · Программное обеспечение, 7 класс · Географическое положение России, 8 класс · Византия и Юстиниан, 6 класс · Строение вещества, 7 класс · Внутренняя энергия и теплопередача, 8 класс · Плавление и отвердевание, 8 класс · Испарение, кипение и конденсация, 8 класс · Влажность воздуха, 8 класс · Энергия топлива и КПД двигателя, 8 класс · Сила тяжести и вес тела, 7 класс · Сила упругости и закон Гука, 7 класс · Сила трения и инерция, 7 класс · Электрический заряд и электризация, 8 класс · Электрическое поле и закон Кулона, 8 класс · Давление жидкости и закон Паскаля, 7 класс · Давление газа и атмосферы, 7 класс · Закон Архимеда и плавание тел, 7 класс · Соединение проводников, 8 класс · Работа и мощность тока, 8 класс · Механическая работа и мощность, 7 класс · Простые механизмы: рычаг и блоки, 7 класс · Кинетическая и потенциальная энергия, 7 класс · Магнитное поле и электромагниты, 8 класс · Электромагнитная индукция, 8 класс · Измерения, цена деления и погрешность, 7 класс · Ткани, органы и системы органов человека · Сердце, сосуды и круги кровообращения · Нервная система и рефлексы · Электролитическая диссоциация · Полные и сокращённые ионные уравнения · Качественные реакции на ионы · Равномерное и равноускоренное движение, графики · Законы Ньютона · Импульс и закон сохранения импульса · Электронные таблицы: формулы и ссылки · Скелет и мышцы · Кровь и иммунитет · Дыхание человека · Пищеварение человека · Свободное падение · Скорость химической реакции · Отечественная война 1812 года · Реформы Александра II · Обмен веществ и витамины · Анализаторы: зрение и слух · Эндокринная система · Галогены · Сера и её соединения · Азот и фосфор · Движение по окружности · Закон всемирного тяготения · Механические колебания и волны, звук · Строение атома и ядра, радиоактивность · Выделение и кожа · Металлы: общие свойства и ряд активности · Углерод и кремний · Щелочные и щелочноземельные металлы · Железо и алюминий · Высшая нервная деятельность · Механическая энергия и закон её сохранения · Электромагнитное поле и электромагнитные волны · Россия при Николае I · Крымская война · Россия при Александре III · Списки и циклы в Python · Промышленность России · Транспорт России · Культура России XIX века · Генетическая связь неорганических веществ · Моделирование и формализация · Организм человека и системы органов · Пищевые связи в природе · Семейный бюджет и финансовый план · Социальные сферы, группы и отношения · Права и обязанности несовершеннолетних · Конституция и органы власти · Культура и образование · Свет, тень и полутень · Отражение света и плоское зеркало · Преломление света · Линзы и построение изображения · Фокусное расстояние и оптическая сила · Южная Америка: климат, рельеф и воды · ДНК, РНК и биосинтез белка · Законы Менделя и генетические задачи · Алканы и алкены · Поиск и отбор записей в базе данных · Арабский мир и возникновение ислама · Первая мировая война · СССР в 1920–1930-е годы · Холодная война и послевоенный мир · Дисперсия света и цвет · Базы данных: таблицы, поля и записи · Центральная Россия: население и хозяйство · Африка: природа и население · Великая Отечественная война · Россия в конце XX — начале XXI века · Австралия и Океания: природа и население · Северная Америка: природа и страны · Евразия: природные связи и страны · Первоначальные понятия об органических веществах · Расчёты с примесями и выходом продукта · Алкины и ароматические углеводороды · Эволюция и усложнение животного мира, 8 класс · Классификация организмов, 5 класс · Признаки живого и уровни организации, 5 класс · Размножение и индивидуальное развитие человека, 9 класс · Океаны: течения, свойства воды и жизнь · Сфера услуг России: центры, рекреация и доступность · Поволжье и Юг Европейской части России · Религия: традиции и свобода совести · Информационное пространство: правда и фейк · Спирты и фенолы · Альдегиды и карбоновые кислоты · Сложные эфиры и жиры · Северо-Запад и Европейский Север России · Урал: район, ресурсы и население · Сибирь и Дальний Восток: территория и ресурсы · Наша страна и её символы · Стороны горизонта и компас · История России и лента времени · Животные: группы, размножение и развитие · Семейный бюджет: доходы и расходы · Углеводы, амины и аминокислоты · Изомерия и номенклатура органических веществ · МКТ и газовые законы · Уравнение состояния идеального газа · Первый закон термодинамики · Электрическое поле: потенциал и напряжённость · Сила Ампера и сила Лоренца · Переменный ток и трансформатор · Фотоэффект и энергия фотона · Магнитная индукция и правило буравчика · Механические колебания и маятники · Колебательный контур и формула Томсона · Системы счисления: дроби и арифметика, 10 класс · Кодирование и объём данных, 10 класс · Рекурсия и трассировка Python, 11 класс · Строение атома и периодический закон · Классификация и скорость химических реакций · Химическое равновесие и принцип Ле Шателье · Алгоритмы обработки массивов, 11 класс · Перебор вариантов в Python, 11 класс · проценты, 6 класс · конструктор тестов · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.