Математика · 7 класс

Функция y=x²: значения, график и свойства, 7 класс

Парабола y = x²: значения, симметрия, восстановление аргумента и построение по точкам. Материал для 7 класса по линии Макарычева; по ФРП 2025 эта тема относится к 8 классу.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Парабола y=x²

Функция определена при любом x; значение x² неотрицательно.

График симметричен относительно оси Oy и проходит через начало координат. Точки соединяются плавной кривой, а не отдельными прямыми отрезками.

Чтобы найти x по значению y, подбери число, квадрат которого равен y, и проверь, есть ли второе такое число.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Построй график y = x² при −3 ≤ x ≤ 3. На том же чертеже построй прямую y = 6,25 и найди все точки пересечения. Проверь их подстановкой.
Разбор и ориентиры для проверки
Нужны опорные точки по обе стороны от оси Oy и вершина (0; 0). Подстановка: (−2,5)² = 2,5² = 6,25. Ответ с одной точкой неполон. Допускается другая достаточная таблица значений.
Проверь: (−2,5; 6,25) и (2,5; 6,25); оси, масштаб, плавная парабола и горизонтальная прямая.
Реши графически уравнение x² = x + 2: построй графики y = x² и y = x + 2 и найди абсциссы их общих точек. Проверь ответ подстановкой.
Разбор и ориентиры для проверки
Прямая y = x + 2 проходит через (0; 2) и (−2; 0). Проверка: (−1)² = 1 = −1 + 2 и 2² = 4 = 2 + 2. Ответ с одним корнем неполон.
Проверь: x = −1 и x = 2; общие точки (−1; 1) и (2; 4).
Составь таблицу значений y = x² для x = −2,4; −1,6; −0,8; 0; 0,8; 1,6; 2,4 и построй график. Объясни, как меняются значения слева и справа от нуля.
Разбор и ориентиры для проверки
Достаточно сравнить модули аргументов: чем дальше x от нуля, тем больше x². Оси и масштаб обязательны.
Проверь: Значения 5,76; 2,56; 0,64; 0; 0,64; 2,56; 5,76: при движении к нулю уменьшаются, при удалении от нуля увеличиваются.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вычисление значения

Возводится в квадрат весь аргумент.

Для y=x² найди y при x=−3.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
(−3)²=9. Минус входит в аргумент.
Для y = x² найди y при x = − $\frac{2}{3}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{4}{9}$
(− $\frac{2}{3}$ )² = $\frac{4}{9}$ : квадрат отрицательного числа положителен, в квадрат возводят и числитель, и знаменатель.
Для y = x² найди y при x = 0,7.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,49
0,7² = 0,7 · 0,7 = 0,49.

Потренировать эту тему →

Аргумент по значению

Проверь, сколько чисел дают это значение.

Для y=x² значение y равно 16. Найди меньший из двух подходящих аргументов x.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
x²=16 даёт −4 и 4. Меньший −4.
Для y = x² значение y равно 0,36. Найди положительный аргумент.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,6
0,6² = 0,36; второй аргумент −0,6, но требуется положительный.
Сколько аргументов дают y = −4 для функции y = x²?
Ответ и объяснение
Ответ: 0
Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому значения −4 функция не принимает: аргументов нет.
Сколько аргументов дают y = 0 для функции y = x²?
Ответ и объяснение
Ответ: 1
Только x = 0; противоположные знаки нуля не дают двух чисел.

Потренировать эту тему →

Свойства графика

Подставь абсциссу в формулу y = x².

Какая точка принадлежит графику y = x²?
Варианты: 1) (−0,03; 0,09); 2) (3,5; 7); 3) (−1,5; 2,25)
Ответ и объяснение
Ответ: (−1,5; 2,25)
(−1,5)² = 1,5 · 1,5 = 2,25, поэтому подходит (−1,5; 2,25). Остальные точки не подходят: (−0,03)² = 0,0009, а не 0,09; 3,5² = 12,25, а не 7 — квадрат числа не равен его удвоению.
Сравни значения y = x² при x = −5 и x = −2.
Варианты: 1) При −5 больше; 2) При −2 больше; 3) Значения равны
Ответ и объяснение
Ответ: При −5 больше
Квадраты равны 25 и 4, поэтому при −5 значение больше.
Сравни значения y = x² при x = −1,2 и x = 1,2.
Варианты: 1) При −1,2 больше; 2) Значения равны; 3) При 1,2 больше
Ответ и объяснение
Ответ: Значения равны
(−1,2)² = 1,44 и 1,2² = 1,44: у противоположных аргументов квадраты равны, поэтому график симметричен относительно оси Oy.

Потренировать эту тему →

График и вычисление

Ответ проверь вычислением по формуле y = x².

По графику найди y при x = −2.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Вертикаль x = −2 пересекает кривую на высоте 4; проверка (−2)² = 4.
Сколько точек показанной кривой имеют ординату 1?
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Горизонталь y = 1 пересекает кривую при x = −1 и x = 1.
Точки (0; 0) и (1; 1) лежат на графике y = x². Какая ордината у точки графика с абсциссой 0,5?
Варианты: 1) $\frac{1}{4}$ ; 2) $\frac{1}{2}$ ; 3) $\frac{1}{8}$
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{4}$
0,5² = 0,25 = $\frac{1}{4}$ . Значение $\frac{1}{2}$ дал бы отрезок между точками (0; 0) и (1; 1): парабола между ними проходит ниже отрезка. $\frac{1}{8}$ — это куб числа 0,5, а не квадрат.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число. Десятичную часть отдели запятой или точкой; точную дробь запиши в дробные поля или через черту. Если подходят два аргумента, прочитай, какой из них нужен в коротком ответе. Построения проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: ФРП 2025: графики квадрата и куба в 8 классе, с. 43, 47; здесь 7 класс по линии Макарычева. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 7 класс. Базовый уровень», Просвещение; пятнадцатое переработанное издание, строка 476 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. В тематическом планировании пособия «Математика. Алгебра. Методические рекомендации. 7–9 классы (к учебнику Макарычева Ю. Н. и др.)» (Просвещение, 2023) пункт 23 «Функции y = x² и y = x³» стоит в 7 классе; в ФРП 2025 эти функции относятся к 8 классу. Выбирайте уже изученный раздел своего учебника. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Парабола y=x²

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Вычисление значения

Аргумент по значению

Свойства графика

График и вычисление

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме