Математика · 7 класс
Формулы сокращённого умножения для 7 класса
Три основные формулы в таблице, примеры преобразований и 32 задания с решениями. Тренировка онлайн и листы для печати: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
Три основные формулы и примеры их применения
| Название | Формула | Пример или условие |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | (x − 3)² = x² − 6x + 9 |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | x² − 9 = (x − 3)(x + 3) |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Дополнительно: в базовую программу и ОГЭ не входит |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | Дополнительно: в базовую программу и ОГЭ не входит |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | Дополнительно: в базовую программу и ОГЭ не входит |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | Дополнительно: в базовую программу и ОГЭ не входит |
Формулы сокращённого умножения — тождества: равенства верны при любых значениях переменных. Их используют, чтобы представить выражение в виде многочлена, разложить многочлен на множители или упростить вычисления.
Откуда берётся удвоенное произведение: (a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b². Поэтому квадрат суммы не равен сумме квадратов. Например, (2 + 3)² = 25, а 2² + 3² = 13.
В формуле квадрата разности меняется знак среднего слагаемого: (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадрат второго выражения остаётся со знаком плюс. Пример: (3x − 2)² = (3x)² − 2 · 3x · 2 + 2² = 9x² − 12x + 4.
Чтобы свернуть трёхчлен в квадрат двучлена, проверь все три слагаемых. Например, 4x² + 12x + 9 = (2x)² + 2 · 2x · 3 + 3² = (2x + 3)². Но 4x² + 6x + 9 так свернуть нельзя: среднее слагаемое не равно удвоенному произведению.
Разность квадратов можно читать в обе стороны: (2x − 7)(2x + 7) = 4x² − 49; 4x² − 49 = (2x − 7)(2x + 7). Перед применением формулы найди, какие именно выражения возводятся в квадрат.
Пример вычисления: 39 · 41 = (40 − 1)(40 + 1) = 40² − 1² = 1599. Пример упрощения: (x − 2)² − x² = x² − 4x + 4 − x² = −4x + 4.
Эта страница отрабатывает три основные формулы базовой программы. Куб суммы и разности, сумма и разность кубов в банк не включены. Последовательность этих тем в разных учебниках может отличаться.
Преобразования сначала запиши в тетради. Затем выбери равный ответ или введи число, о котором спрашивает задание: коэффициент или число в формуле. Тренажёр проверяет выбранную запись или число, но не оценивает ход преобразований и способ вычисления.
Самостоятельная работа по формулам сокращённого умножения
Два варианта из заданий этой темы, с местом для решения. Ответы и объяснения — на отдельных страницах.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.
Квадрат суммы и квадрат разности
Выдели первое и второе выражения. Запиши их квадраты и удвоенное произведение; затем приведи подобные слагаемые.
Представь в виде многочлена: (x + 6)². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) x² + 36; 2) x² + 12x + 36; 3) x² + 6x + 36; 4) x² + 12x + 6
Ответ и объяснение
Ответ: x² + 12x + 36
(x + 6)² = x² + 2 · x · 6 + 6² = x² + 12x + 36. Не пропускай удвоенное произведение.
Представь в виде многочлена: (x + 8)². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) x² + 16x + 8; 2) x² + 8x + 64; 3) x² + 64; 4) x² + 16x + 64
Ответ и объяснение
Ответ: x² + 16x + 64
(x + 8)² = x² + 2 · x · 8 + 8² = x² + 16x + 64.
Представь (x − 7)² в виде многочлена и введи коэффициент при x. Если он отрицательный, поставь знак «−».
Ответ и объяснение
Ответ: (x − 7)² = x² − 14x + 49
(x − 7)² = x² − 2 · x · 7 + 7² = x² − 14x + 49. Коэффициент при x равен −14, а последнее слагаемое 49 — положительное.
Представь (x − 9)² в виде многочлена и введи коэффициент при x. Если он отрицательный, поставь знак «−».
Ответ и объяснение
Ответ: (x − 9)² = x² − 18x + 81
(x − 9)² = x² − 2 · x · 9 + 9² = x² − 18x + 81. Коэффициент при x равен −18: удвоенное произведение входит со знаком минус.
Представь в виде многочлена: (2x + 5)². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) 4x² + 10x + 25; 2) 4x² + 20x + 25; 3) 2x² + 20x + 25; 4) 4x² + 25
Ответ и объяснение
Ответ: 4x² + 20x + 25
Квадрат первого выражения: (2x)² = 4x². Удвоенное произведение: 2 · 2x · 5 = 20x. Получаем 4x² + 20x + 25.
Представь в виде многочлена: (3x + 4)². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) 9x² + 16; 2) 3x² + 24x + 16; 3) 9x² + 12x + 16; 4) 9x² + 24x + 16
Ответ и объяснение
Ответ: 9x² + 24x + 16
(3x + 4)² = (3x)² + 2 · 3x · 4 + 4² = 9x² + 24x + 16.
Представь (5a − 2b)² в виде многочлена и введи коэффициент при ab. Если он отрицательный, поставь знак «−».
Ответ и объяснение
Ответ: (5a − 2b)² = 25a² − 20ab + 4b²
(5a − 2b)² = (5a)² − 2 · 5a · 2b + (2b)² = 25a² − 20ab + 4b². Коэффициент при ab равен −20.
Представь (2a − 3b)² в виде многочлена и введи коэффициент при ab. Если он отрицательный, поставь знак «−».
Ответ и объяснение
Ответ: (2a − 3b)² = 4a² − 12ab + 9b²
(2a − 3b)² = (2a)² − 2 · 2a · 3b + (3b)² = 4a² − 12ab + 9b². Коэффициент при ab равен −12.
Трёхчлен в виде квадрата двучлена
Проверь, являются ли крайние слагаемые квадратами, а среднее — их удвоенным произведением с нужным знаком.
Представь в виде квадрата двучлена: x² + 14x + 49. Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) (x + 14)²; 2) (x − 7)²; 3) (x + 7)²; 4) (x + 49)²
Ответ и объяснение
Ответ: (x + 7)²
x² + 14x + 49 = x² + 2 · x · 7 + 7² = (x + 7)². Проверь и крайние слагаемые, и удвоенное произведение.
Представь в виде квадрата двучлена: x² + 18x + 81. Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) (x + 9)²; 2) (x + 18)²; 3) (x − 9)²; 4) (x + 81)²
Ответ и объяснение
Ответ: (x + 9)²
x² + 18x + 81 = x² + 2 · x · 9 + 9² = (x + 9)².
Представь x² − 12x + 36 в виде квадрата двучлена (x − a)². Введи число a.
Ответ и объяснение
Ответ: x² − 12x + 36 = (x − 6)²
x² − 12x + 36 = x² − 2 · x · 6 + 6² = (x − 6)², поэтому a = 6. Число a — не 12 и не 36: проверь удвоенное произведение 2 · x · 6 = 12x.
Представь x² − 16x + 64 в виде квадрата двучлена (x − a)². Введи число a.
Ответ и объяснение
Ответ: x² − 16x + 64 = (x − 8)²
x² − 16x + 64 = x² − 2 · x · 8 + 8² = (x − 8)², поэтому a = 8. Проверь и удвоенное произведение: 2 · x · 8 = 16x.
Представь 4x² + 28x + 49 в виде квадрата двучлена (2x + a)². Введи число a.
Ответ и объяснение
Ответ: 4x² + 28x + 49 = (2x + 7)²
4x² = (2x)², 49 = 7², а 28x = 2 · 2x · 7. Значит, 4x² + 28x + 49 = (2x + 7)² и a = 7.
Представь 9x² + 30x + 25 в виде квадрата двучлена (3x + a)². Введи число a.
Ответ и объяснение
Ответ: 9x² + 30x + 25 = (3x + 5)²
9x² = (3x)², 25 = 5², а 30x = 2 · 3x · 5. Значит, 9x² + 30x + 25 = (3x + 5)² и a = 5.
Представь в виде квадрата двучлена: 16a² − 24ab + 9b². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) (4a + 3b)²; 2) (8a − 3b)²; 3) (4a − 6b)²; 4) (4a − 3b)²
Ответ и объяснение
Ответ: (4a − 3b)²
16a² − 24ab + 9b² = (4a)² − 2 · 4a · 3b + (3b)² = (4a − 3b)².
Представь в виде квадрата двучлена: 25a² − 30ab + 9b². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) (5a + 3b)²; 2) (5a − 3b)²; 3) (5a − 6b)²; 4) (25a − 3b)²
Ответ и объяснение
Ответ: (5a − 3b)²
25a² − 30ab + 9b² = (5a)² − 2 · 5a · 3b + (3b)² = (5a − 3b)².
Разность квадратов
Различай a² − b² и (a − b)². Применяй формулу как для умножения, так и для разложения на множители.
Выполни умножение (x − 6)(x + 6). Получится многочлен x² + c. Введи число c со знаком.
Ответ и объяснение
Ответ: (x − 6)(x + 6) = x² − 36
(x − 6)(x + 6) = x² − 6² = x² − 36, поэтому c = −36. При раскрытии скобок слагаемые −6x и 6x взаимно уничтожаются.
Выполни умножение (x − 8)(x + 8). Получится многочлен x² + c. Введи число c со знаком.
Ответ и объяснение
Ответ: (x − 8)(x + 8) = x² − 64
(x − 8)(x + 8) = x² − 8² = x² − 64, поэтому c = −64. Слагаемые −8x и 8x взаимно уничтожаются.
Выполни умножение: (3x − 5)(3x + 5). Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) 9x² − 30x + 25; 2) 3x² − 25; 3) 9x² − 25; 4) 9x² + 25
Ответ и объяснение
Ответ: 9x² − 25
Первое выражение — 3x, второе — 5. Произведение равно (3x)² − 5² = 9x² − 25.
Выполни умножение: (4x − 3)(4x + 3). Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) 16x² − 9; 2) 4x² − 9; 3) 16x² − 24x + 9; 4) 16x² + 9
Ответ и объяснение
Ответ: 16x² − 9
(4x − 3)(4x + 3) = (4x)² − 3² = 16x² − 9.
Разложи x² − 121 на множители вида (x − a)(x + a), где a — положительное число. Введи a.
Ответ и объяснение
Ответ: x² − 121 = (x − 11)(x + 11)
121 = 11², поэтому x² − 121 = x² − 11² = (x − 11)(x + 11) и a = 11.
Разложи x² − 144 на множители вида (x − a)(x + a), где a — положительное число. Введи a.
Ответ и объяснение
Ответ: x² − 144 = (x − 12)(x + 12)
144 = 12², поэтому x² − 144 = x² − 12² = (x − 12)(x + 12) и a = 12.
Разложи на множители: 25a² − 16b². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) (5a − 4b)²; 2) (25a − 16b)(25a + 16b); 3) (5a − 4b)(5a + 4b); 4) (5a + 4b)²
Ответ и объяснение
Ответ: (5a − 4b)(5a + 4b)
25a² − 16b² = (5a)² − (4b)² = (5a − 4b)(5a + 4b).
Разложи на множители: 49a² − 9b². Сначала выполни преобразования в тетради, затем выбери ответ.
Варианты: 1) (7a − 3b)(7a + 3b); 2) (7a − 3b)²; 3) (49a − 9b)(49a + 9b); 4) (7a + 3b)²
Ответ и объяснение
Ответ: (7a − 3b)(7a + 3b)
49a² − 9b² = (7a)² − (3b)² = (7a − 3b)(7a + 3b).
Вычисления и упрощение
Подбери удобное круглое число или сначала упрости выражение. В поле ответа нужен точный числовой результат.
Вычисли 102², применив формулу квадрата суммы.
Ответ и объяснение
Ответ: 10 404
102² = (100 + 2)² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
Вычисли 103², применив формулу квадрата суммы.
Ответ и объяснение
Ответ: 10 609
103² = (100 + 3)² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609.
Вычисли 98², применив формулу квадрата разности.
Ответ и объяснение
Ответ: 9604
98² = (100 − 2)² = 10 000 − 400 + 4 = 9604.
Вычисли 97², применив формулу квадрата разности.
Ответ и объяснение
Ответ: 9409
97² = (100 − 3)² = 10 000 − 600 + 9 = 9409.
Вычисли 48 · 52 с помощью разности квадратов.
Ответ и объяснение
Ответ: 2496
48 · 52 = (50 − 2)(50 + 2) = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496.
Вычисли 47 · 53 с помощью разности квадратов.
Ответ и объяснение
Ответ: 2491
47 · 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491.
Докажи, что значение выражения (x + 4)² − x(x + 8) не зависит от x: упрости его и введи получившееся число.
Ответ и объяснение
Ответ: 16
(x + 4)² − x(x + 8) = x² + 8x + 16 − x² − 8x = 16. Результат не зависит от x.
Докажи, что значение выражения (x + 5)² − x(x + 10) не зависит от x: упрости его и введи получившееся число.
Ответ и объяснение
Ответ: 25
(x + 5)² − x(x + 10) = x² + 10x + 25 − x² − 10x = 25. Результат не зависит от x.
Вопросы о тренировке
Как записывать ответ?
В заданиях на преобразования сначала раскрой скобки или разложи выражение на множители в тетради. Затем выбери один ответ или введи число, о котором спрашивает условие, — со знаком «−», если оно отрицательное. В вычислениях введи только число. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.
Это подготовка к ВПР или ОГЭ?
Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.
Программа и границы проверки
Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 7 класса, с. 42; результаты, с. 45. Дата сверки — 26 сентября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.
Учебник из федерального перечня: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под ред. С. А. Теляковского «Математика. Алгебра. 7 класс», базовый уровень, Просвещение. Сумма и разность кубов в банк не входят: в базовой программе и в ОГЭ их нет. Условия и решения авторские.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 сентября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.
Другие темы для тренировки
Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.