UrokDesk
Войти

Математика · 6 класс

НОД и НОК: задания для 6 класса

Разложение на простые множители, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное: 32 задания с проверкой и 4 письменные задачи с разбором. Печать и ссылка ученику.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как находить НОД и НОК

Работаем с натуральными числами 1, 2, 3, … . Простое число имеет ровно два натуральных делителя — 1 и само число. Составное имеет больше двух. Единица не простая и не составная. Ноль и отрицательные числа в этот набор не входят.

Разложить составное число на простые множители — представить его произведением простых чисел. Например, 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 = 2² · 3³. Делить можно последовательно, записывая шаги столбиком или цепочкой. В конце не должно остаться составных множителей.

НОД (a; b) — наибольший натуральный общий делитель. Разложи оба числа и возьми общие простые множители с меньшим числом повторений: 60 = 2² · 3 · 5, 84 = 2² · 3 · 7; НОД (60; 84) = 2² · 3 = 12.

НОК (a; b) — наименьшее натуральное число, которое делится и на a, и на b. Возьми все простые множители с большим числом повторений: для 60 и 84 нужны 2², 3, 5, 7. НОК (60; 84) = 2² · 3 · 5 · 7 = 420. Можно начать с разложения одного числа и добавить недостающие множители второго.

Два числа взаимно простые, если их НОД равен 1; оба числа при этом могут быть составными, например 8 и 25. НОК взаимно простой пары равен произведению. Два различных простых числа взаимно простые; одинаковые простые — нет.

Если одно число делится на другое, НОД равен меньшему, а НОК — большему. Для одинаковых чисел оба результата равны этому числу. НОД (1; a) = 1, НОК (1; a) = a.

Для трёх чисел НОД берёт общую часть всех трёх разложений, а НОК — все нужные множители с наибольшим числом повторений среди трёх. Например, для 4, 6, 8 получаем НОД = 2, НОК = 24. Основной банк посвящён двум числам; на три есть два упражнения.

В задаче сначала объясни выбор. Максимальное число одинаковых комплектов без остатка — НОД. Первое повторное совпадение двух постоянных периодов после общего старта — НОК. Проверь ответ делением и укажи единицы. Одного общего делителя или кратного недостаточно: требуется наибольший или наименьший.

Вернуться к тренажёру →

4 письменные работы с разложениями

Запиши решение на бумаге. Покажи разложения, обоснуй выбор НОД или НОК, проверь делением и сформулируй ответ. Преподаватель оценивает рассуждение по приведённым ориентирам.

  1. Разложи 252 и 198 на простые множители. Найди их НОД и НОК, объясни выбор множителей и проверь ответы делением.

    Разбор и ориентиры для проверки

    252 = 2² · 3² · 7; 198 = 2 · 3² · 11. Общая часть 2 · 3² = 18. Для НОК нужны 2² · 3² · 7 · 11 = 2772. Проверки: 252 : 18 = 14, 198 : 18 = 11; 2772 : 252 = 11, 2772 : 198 = 14. Принимается цепочка либо столбик, степени необязательны; обязательны правильные повторы множителей и объяснение выбора.

    Проверь: НОД (252; 198) = 18; НОК (252; 198) = 2772.

  2. Есть 84 наклейки и 126 карточек. Из них делают как можно больше комплектов с одинаковым числом наклеек и одинаковым числом карточек в каждом, используя всё. Сколько комплектов получится и каков состав каждого? Обоснуй максимум.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Количество комплектов должно делить 84 и 126. 84 = 2² · 3 · 7; 126 = 2 · 3² · 7; НОД = 2 · 3 · 7 = 42. Деление даёт 84 : 42 = 2 и 126 : 42 = 3. Общая часть разложений доказывает, что большего общего делителя нет. Проверяются модель, максимум и оба количества.

    Проверь: 42 комплекта: в каждом 2 наклейки и 3 карточки.

  3. Два сигнала включились одновременно. Один включается каждые 14 секунд, другой — каждые 21 секунду. Когда после старта они впервые включатся вместе? Сколько полных интервалов каждого сигнала пройдёт? Обоснуй, почему раньше совпадения нет.

    Разбор и ориентиры для проверки

    14 = 2 · 7; 21 = 3 · 7; НОК = 2 · 3 · 7 = 42. Кратные 14 до этого момента — 14, 28, 42, а кратные 21 — 21, 42. Первое совпадение после старта — через 42 секунды. Можно обосновать через разложения или список кратных; начальный момент не считается.

    Проверь: Через 42 секунды: 3 интервала первого и 2 второго.

  4. Ученик написал: «НОК (12; 16) = 12 · 16 = 192, потому что произведение всегда делится на оба числа». Найди ошибку, получи верный ответ и поясни, при каком условии НОК двух чисел равен их произведению.

    Разбор и ориентиры для проверки

    12 = 2² · 3, 16 = 2⁴; берём 2⁴ · 3 = 48. Оно делится на 12 и 16; меньших показателей не хватит. При перемножении исходных чисел общий множитель 2² был учтён лишний раз. Нужно различить общее и наименьшее, дать разложение и назвать взаимную простоту; пример такой пары: 4 и 9.

    Проверь: 192 — общее, но не наименьшее кратное. НОК (12; 16) = 48. Правило о произведении верно для взаимно простых чисел.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Простые множители

Простые и составные числа, полное разложение и взаимная простота.

  1. Какое утверждение о числе 1 верно?

    Варианты: 1) Это простое число; 2) Это ни простое, ни составное число; 3) Это составное число

    Ответ и объяснение

    Ответ: Это ни простое, ни составное число

    У единицы только один натуральный делитель. У простого числа их ровно два, у составного — больше двух.

  2. Какое из чисел простое?

    Варианты: 1) 29; 2) 33; 3) 49

    Ответ и объяснение

    Ответ: 29

    29 делится только на 1 и на 29. Числа 33 = 3 · 11 и 49 = 7 · 7 составные.

  3. Какая запись является полным разложением 132 на простые множители?

    Варианты: 1) 132 = 4 · 33; 2) 132 = 2 · 6 · 11; 3) 132 = 2 · 2 · 3 · 11

    Ответ и объяснение

    Ответ: 132 = 2 · 2 · 3 · 11

    В полном разложении каждый множитель простой. В первых двух записях остались составные 4, 33 или 6.

  4. Сколько раз множитель 5 входит в разложение числа 225 на простые множители?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 2

    225 = 9 · 25 = 3 · 3 · 5 · 5 = 3² · 5². Множитель 5 входит два раза, то есть во второй степени.

  5. Сколько простых множителей в разложении 120, если каждое повторение считать отдельно?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5. Всего пять множителей; различных простых делителей здесь только три.

  6. Какая пара составных чисел взаимно простая?

    Варианты: 1) 14 и 21; 2) 16 и 27; 3) 22 и 33

    Ответ и объяснение

    Ответ: 16 и 27

    У 16 = 2⁴ и 27 = 3³ нет общих простых делителей, поэтому НОД равен 1. У двух других пар общий делитель соответственно 7 и 11.

  7. Заполни пропуск простым множителем: 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · □.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 3

    2 · 2 · 2 · 3 = 24; 72 : 24 = 3. Полное разложение: 72 = 2³ · 3².

  8. Ученик назвал 51 простым числом. Какое объяснение опровергает ответ?

    Варианты: 1) 51 = 3 · 17, значит есть делители кроме 1 и 51; 2) 51 нечётное, значит простое; 3) 51 не делится на 2, значит простое

    Ответ и объяснение

    Ответ: 51 = 3 · 17, значит есть делители кроме 1 и 51

    51 делится на 3 и на 17. Нечётность и отсутствие делимости на 2 сами по себе не доказывают простоту.

Потренировать эту тему →

Наибольший общий делитель

Общие множители, кратность, единица и случай трёх чисел.

  1. Найди НОД (45; 63).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 9

    45 = 3² · 5, 63 = 3² · 7. Общая часть разложений — 3², поэтому НОД равен 9.

  2. Найди НОД (84; 132).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 12

    84 = 2² · 3 · 7, 132 = 2² · 3 · 11. Берём общие множители 2² · 3 = 12.

  3. Найди НОД (5; 65).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    65 делится на 5. Если одно число делится на другое, НОД равен меньшему: 5.

  4. Найди НОД (11; 11).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 11

    Наибольший делитель каждого из двух одинаковых чисел — само число 11.

  5. Найди НОД (1; 56).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 1

    Единственный натуральный делитель 1 — число 1; оно же делит 56.

  6. Дано: a = 2³ · 3², b = 2 · 3³ · 5. Найди НОД (a; b).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 18

    Общие простые делители — 2 и 3. Берём меньшие показатели: 2 · 3² = 18. Множитель 5 есть только у b, в НОД он не входит.

  7. Найди НОД (25; 36).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 1

    25 = 5², 36 = 2² · 3². Общих простых делителей нет: числа взаимно простые, НОД равен 1.

  8. Найди НОД трёх чисел: 30, 42 и 66.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 6

    30 = 2 · 3 · 5; 42 = 2 · 3 · 7; 66 = 2 · 3 · 11. Общая часть всех трёх разложений — 2 · 3 = 6.

Потренировать эту тему →

Наименьшее общее кратное

Недостающие множители, кратность, взаимная простота и случай трёх чисел.

  1. Найди НОК (8; 18).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 72

    8 = 2³, 18 = 2 · 3². Берём все основания с наибольшими показателями: 2³ · 3² = 72.

  2. Найди НОК (24; 40).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 120

    24 = 2³ · 3, 40 = 2³ · 5. В разложении нужны 2³, 3 и 5: 120. Общий множитель 2³ не умножаем сам на себя.

  3. Найди НОК (14; 70).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 70

    70 уже делится на 14. Если одно число кратно другому, НОК равен большему: 70.

  4. Найди НОК (13; 13).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 13

    Наименьшее натуральное число, кратное 13, — само число 13. Оно подходит обоим одинаковым числам.

  5. Найди НОК (1; 63).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 63

    Каждое натуральное число кратно 1. Поэтому ищем наименьшее натуральное число, кратное 63: это 63.

  6. Найди НОК (14; 15).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 210

    14 = 2 · 7 и 15 = 3 · 5 взаимно простые. Их НОК равен произведению: 14 · 15 = 210.

  7. Дано: a = 2² · 3², b = 2 · 3 · 5. Найди НОК (a; b).

    Ответ и объяснение

    Ответ: 180

    Берём 2² и 3² — степени с большими показателями; добавляем 5, имеющийся только у b. Получаем 2² · 3² · 5 = 180.

  8. Найди НОК трёх чисел: 6, 10 и 15.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 30

    6 = 2 · 3; 10 = 2 · 5; 15 = 3 · 5. Достаточно по одному множителю 2, 3, 5: 30 делится на все три числа.

Потренировать эту тему →

Выбор действия и задачи

Одинаковые комплекты, отрезки, повторные события и исправление ошибок.

  1. Из предметов двух разных видов хотят составить как можно больше одинаковых по составу комплектов, использовав все предметы. Что находят для количества комплектов?

    Варианты: 1) Сумму количеств; 2) НОК количеств; 3) НОД количеств

    Ответ и объяснение

    Ответ: НОД количеств

    Количество комплектов должно делить оба исходных количества без остатка. Требуется наибольшее из таких чисел — НОД.

  2. Из 42 красных и 70 синих фишек составляют одинаковые по составу наборы, используя все фишки. Каково наибольшее число наборов?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 14

    Ищем НОД (42; 70) = 14. В каждом наборе будет 3 красных и 5 синих фишек; больше одинаковых наборов без остатка не получится.

  3. Две ленты длиной 96 см и 72 см разрезают без остатка на куски одинаковой целой длины. Найди наибольшую длину куска в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 24

    Искомая длина должна делить 96 и 72. НОД (96; 72) = 24; получатся соответственно 4 и 3 куска.

  4. Два световых сигнала включились вместе. Первый повторяется каждые 12 секунд, второй — каждые 18 секунд. Через сколько секунд после старта они впервые включатся вместе?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 36

    Момент должен быть кратным 12 и 18. НОК (12; 18) = 36: первый сигнал повторится через три интервала, второй — через два. Начальный момент не считаем.

  5. Ученик получил НОК (18; 24) = 432, перемножив числа. Какая поправка верна?

    Варианты: 1) НОК равен 72: это меньшее общее кратное; 2) 432 верно, НОК всегда равен произведению; 3) НОК равен 6 — это общий делитель

    Ответ и объяснение

    Ответ: НОК равен 72: это меньшее общее кратное

    18 = 2 · 3², 24 = 2³ · 3. НОК = 2³ · 3² = 72. Число 432 — общее кратное, но не наименьшее; произведение автоматически подходит только для взаимно простой пары.

  6. Число наклеек больше 60, но меньше 90. Их можно разложить поровну без остатка по 12 или по 18 штук. Сколько наклеек?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 72

    НОК (12; 18) = 36. Между 60 и 90 находится ровно одно его кратное — 72.

  7. Какое утверждение верно для любых двух натуральных чисел?

    Варианты: 1) НОД всегда больше каждого из чисел; 2) НОД не больше меньшего числа; 3) НОК всегда меньше большего числа

    Ответ и объяснение

    Ответ: НОД не больше меньшего числа

    Общий делитель не может быть больше ни одного из чисел. Равенство с меньшим возможно, если оно делит большее. НОК, наоборот, не меньше большего числа.

  8. Автоматы упаковывают карточки пачками по 15 или по 21 штуке. Найди наименьшее число карточек, которое можно упаковать любым из двух способов без остатка.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 105

    Ищем наименьшее общее кратное: 15 = 3 · 5, 21 = 3 · 7, НОК = 3 · 5 · 7 = 105.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Вводи число, которое спрашивается: делитель, кратное, количество или показатель. Разложение и объяснение сначала запиши в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Чем НОД отличается от НОК?

НОД делит каждое исходное число; каждое исходное число делит НОК. Сравни найденные НОД и НОК с самими числами — это полезная проверка ответа, но она сама по себе не доказывает правильность.

Можно ли решать без степеней?

Да. Записывай повторяющиеся простые множители по отдельности. Для небольших чисел можно перечислить делители или кратные; в письменной работе важно объяснить наибольший или наименьший результат.

Нужно ли всегда перемножать числа для НОК?

Нет. Произведение всегда будет общим кратным, но совпадает с НОК только у взаимно простой пары. Например, для 6 и 14 произведение 84, а НОК — 42.

Проверяет ли тренажёр разложение столбиком?

Автоматически проверяется короткий ответ или выбранный вариант. Столбик, цепочку вычислений и обоснование выполняют на бумаге и сверяют по разбору вместе с преподавателем.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 6 класса, с. 15; результаты и действия, с. 19, 30–31. Дата сверки — 28 сентября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков и др. «Математика. 6 класс», базовый уровень, Просвещение. Разложение на простые множители, НОД и НОК по оглавлению и планированию издательства — § 2, пп. 6–8. Короткие задания проверяют результат, разложения и обоснования — письменный разбор. Задания авторские.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 сентября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.