Математика · 8 класс

Степень с целым показателем и стандартный вид числа, 8 класс

Нулевые и отрицательные показатели, свойства степеней и запись больших и малых чисел. Точные ответы, порядок числа и письменная проверка преобразований.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Определения и ограничения

Для ненулевого a: a⁰ = 1 и a⁻ⁿ = $\frac{1}{aⁿ}$ , где n — натуральное число. Нуль в нулевой или отрицательной степени здесь не определяют.

При a ≠ 0 свойства степеней с целыми показателями те же, что с натуральными: при умножении степеней одного основания показатели складывают, при делении вычитают, при возведении степени в степень перемножают.

Стандартный вид положительного числа: a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10 и n — целое. При переносе запятой сохрани значение всего произведения.

Для отрицательного числа можно вынести минус перед стандартной записью модуля. В этой подборке стандартный вид отрабатывается для положительных чисел.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Ученик записал 0,0034 = 34 · 10⁻⁴ и назвал это стандартным видом. Оцени равенство и название, затем запиши стандартный вид.
Разбор и ориентиры для проверки
34 · 0,0001 = 0,0034, но коэффициент 34 не удовлетворяет условию 1 ≤ a < 10. В стандартном виде коэффициент 3,4, порядок −3. Нужно отделить ошибку нормализации от ошибки значения.
Проверь: Равенство верно, название неверно; стандартный вид 3,4 · 10⁻³.
Упрости (a⁻²)³ : a⁻⁴ и укажи допустимые значения a. Проверь при a = −2.
Разбор и ориентиры для проверки
Показатель −6 − (−4) = −2. Ограничение сохраняется во всех действиях; отрицательное основание допустимо.
Проверь: a⁻², a ≠ 0; при −2 значение $\frac{1}{4}$ .
Вычисли (6 · 10⁷) : (2 · 10⁻³) и запиши ответ в стандартном виде. Объясни действие с показателями.
Разбор и ориентиры для проверки
Коэффициент 6 : 2 = 3; показатель 7 − (−3) = 10. Коэффициент уже в нужном диапазоне.
Проверь: 3 · 10¹⁰.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Нулевой и отрицательный показатели

Степень с отрицательным показателем запиши дробью, затем вычисляй.

Вычисли: 2⁻³ + 4⁻¹. Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{3}{8}$
2⁻³ = $\frac{1}{8}$ ; 4⁻¹ = $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{8}$ ; сумма $\frac{3}{8}$ .
Вычисли: (−2)⁻⁴. Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{16}$
Четвёртая степень −2 равна 16; обратное число $\frac{1}{16}$ .
Вычисли: (0,2)⁻².
Ответ и объяснение
Ответ: 25
Обратное к 0,2 число — 5; квадрат 25.
Какое выражение не определено?
Варианты: 1) (1 − 3)⁻²; 2) (5 · 2⁰)⁻¹; 3) (4 − 2²)⁰
Ответ и объяснение
Ответ: (4 − 2²)⁰
4 − 2² = 0, а нуль в нулевой степени не определён. Остальные основания ненулевые: (1 − 3)⁻² = (−2)⁻² = $\frac{1}{4}$ , а 2⁰ = 1, поэтому (5 · 2⁰)⁻¹ = 5⁻¹ = $\frac{1}{5}$ .
Вычисли: 7⁰ + 10⁻¹.
Ответ и объяснение
Ответ: 1,1
7⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1; сумма 1,1.

Потренировать эту тему →

Свойства степеней

Показатели могут быть отрицательными.

Вычисли: 3⁻² · 3⁵ : 3².
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Показатель −2+5−2=1, поэтому 3¹=3.
Вычисли: (2⁻²)³ · 2⁸.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Показатель −2 · 3 + 8 = 2; 2² = 4.
Вычисли: 5⁻³ : 5⁻¹. Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{25}$
Показатель −3 − (−1) = −2; значение $\frac{1}{25}$ .
При a ≠ 0 упрости a⁻² · a⁻³.
Варианты: 1) a⁶; 2) a⁻⁵; 3) a⁻¹
Ответ и объяснение
Ответ: a⁻⁵
При умножении показатели складывают: −2 + (−3) = −5. Если показатели перемножить, получится a⁶, а если вычесть, — a⁻¹.
При a ≠ 0 упрости (a⁻⁴)⁻² · a⁻⁵.
Варианты: 1) a⁻¹¹; 2) a¹³; 3) a³
Ответ и объяснение
Ответ: a³
(a⁻⁴)⁻² = a⁸, так как (−4) · (−2) = 8. Затем a⁸ · a⁻⁵ = a³: при умножении показатели складывают, 8 + (−5) = 3.

Потренировать эту тему →

Стандартный вид

После записи проверь диапазон коэффициента.

Число 0,00072 записали в стандартном виде 7,2·10ⁿ. Найди целое число n.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
Чтобы получить 7,2, запятую в 0,00072 переносят на 4 знака вправо; это компенсирует множитель 10⁻⁴: 7,2 · 10⁻⁴ = 0,00072.
Запиши 5 600 000 в стандартном виде a · 10ⁿ. Найди коэффициент a.
Ответ и объяснение
Ответ: 5,6
Стандартная запись 5,6 · 10⁶; коэффициент находится между 1 и 10.
Произведение (3 · 10⁴) · (4 · 10⁻⁷) записали в стандартном виде a · 10ⁿ. Найди n.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
Получается 12 · 10⁻³ = 1,2 · 10⁻²; порядок −2.
Какая запись является стандартным видом положительного числа?
Варианты: 1) 0,83 · 10⁵; 2) 83 · 10³; 3) 8,3 · 10⁴
Ответ и объяснение
Ответ: 8,3 · 10⁴
Только коэффициент 8,3 удовлетворяет 1 ≤ a < 10.
Сравни A = 0,92 · 10⁻⁴ и B = 9,2 · 10⁻⁵.
Варианты: 1) A > B; 2) A = B; 3) A < B
Ответ и объяснение
Ответ: A = B
A = 0,92 · 10⁻⁴ = 9,2 · 10⁻¹ · 10⁻⁴ = 9,2 · 10⁻⁵, поэтому A = B. Сравнивать числа по показателю можно, только когда обе записи в стандартном виде.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число. Десятичную часть отдели запятой или точкой; точную дробь запиши в дробные поля или через черту. В заданиях на стандартный вид впиши только то, что спрашивают: показатель n или коэффициент a. Запись преобразований проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 42; результаты, с. 46. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень», Просвещение; шестнадцатое переработанное издание, строка 477 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Определения и ограничения

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Нулевой и отрицательный показатели

Свойства степеней

Стандартный вид

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме