Математика · 9 класс

Испытания Бернулли: цепочка и число успехов

Различай заданную последовательность и число успехов, находи вероятность первого успеха и дополнения события. Короткие ответы и письменные модели для 9 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Определи событие до вычисления

Испытания Бернулли независимы, имеют два исхода, а вероятность успеха одинакова в каждом испытании. Вероятность неудачи дополняет вероятность успеха до единицы.

Одна заданная цепочка и все цепочки с тем же числом успехов — разные события. Для одной цепочки перемножают вероятности её исходов; для числа успехов учитывают все подходящие расположения.

Для первого успеха на определённом шаге предыдущие шаги должны быть неудачными. Исходы после первого успеха, если они не запрошены, не ограничиваются.

Слова «хотя бы», «ровно» и «не более» задают разные события. Иногда удобнее найти вероятность противоположного события и вычесть её из единицы.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

В пяти независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,4. Найди вероятность ровно двух успехов и хотя бы одного успеха. Покажи, как учтены разные расположения двух успехов, и проверь ответы на принадлежность промежутку от 0 до 1.
Разбор и ориентиры для проверки
Мест для пары успехов C₅² = 10. Первый ответ 10 · 0,4² · 0,6³ = 0,3456. Второй 1 − 0,6⁵ = 0,92224. Критерии: различены события, обосновано число расположений перебором или сочетаниями, использованы независимость и постоянная вероятность, оба вычисления и проверка границ.
Проверь: Ровно два: 0,3456; хотя бы один: 0,92224.
Испытания независимы, вероятность успеха в каждом равна 0,35. Их продолжают до первого успеха. Найди вероятность первого успеха на третьем шаге и не позже третьего шага. Объясни разницу событий.
Разбор и ориентиры для проверки
На третьем шаге нужна цепочка ННУ: 0,65² · 0,35. Не позже третьего означает успех на первом, втором или третьем шаге: 1 − 0,65³. Критерии: события описаны словами/цепочками, два верных вычисления, объяснено, почему первая вероятность меньше второй; суммирование трёх непересекающихся цепочек допустимо.
Проверь: На третьем: 0,147875; не позже третьего: 0,725375.
В мешке 5 белых и 5 чёрных шаров. Каждый раз шар выбирают случайно. В опыте A после выбора шар возвращают и перемешивают, в опыте B не возвращают. Серия — два выбора, успех — белый шар. Объясни, какой опыт задаёт испытания Бернулли. Для B сравни вероятность белого шара на втором шаге после белого и после чёрного на первом.
Разбор и ориентиры для проверки
В A состав мешка восстанавливается, модель независимых выборов даёт постоянную вероятность 0,5. В B после белого остаются 4 белых из 9, после чёрного — 5 из 9: исходы зависимы. Критерии: задан успех, названы независимость и постоянство для A, показаны обе условные вероятности B; без возвращения нельзя автоматически применить формулу Бернулли.
Проверь: A — испытания Бернулли; в B условные вероятности $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{9}$ , они различны.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Заданный порядок

Вероятности относятся к одной названной цепочке.

В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,6. Найди вероятность цепочки «успех, неудача, успех». Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,144
Для указанного порядка 0,6 · 0,4 · 0,6 = 0,144. Другие расположения не включаются.
В четырёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,5. Найди вероятность цепочки «неудача, успех, успех, неудача». Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,0625
Все четыре множителя равны 0,5. Вероятность одной цепочки 0,5⁴ = 0,0625.
В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,3. Найди вероятность успеха во всех трёх. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,027
По независимости 0,3³ = 0,027. Событие включает одну цепочку из трёх успехов.
В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,2. Найди вероятность цепочки «успех, неудача, неудача». Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,128
Вероятность неудачи 0,8. Нужное произведение 0,2 · 0,8 · 0,8 = 0,128.

Потренировать эту тему →

Ровно столько успехов

Порядок успехов не фиксирован.

В четырёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,5. Найди вероятность ровно одного успеха. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Успех может стоять на одном из четырёх мест. Вероятность каждого порядка 0,5⁴; сумма 4 · 0,0625 = 0,25.
В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,2. Найди вероятность ровно двух успехов. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,096
Для места единственной неудачи три варианта. Вероятность 3 · 0,2² · 0,8 = 0,096.
В четырёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,3. Найди вероятность ровно двух успехов. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2646
Пару мест успехов выбирают шестью способами. Вероятность 6 · 0,3² · 0,7² = 0,2646.
В пяти независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,6. Найди вероятность ровно четырёх успехов. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2592
Для места единственной неудачи пять вариантов: 5 · 0,6⁴ · 0,4 = 0,2592.

Потренировать эту тему →

Хотя бы и не более

Выбери прямой подсчёт или дополнение.

В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,4. Найди вероятность хотя бы одного успеха. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,784
Противоположное событие — три неудачи: 0,6³ = 0,216. Искомая вероятность 1 − 0,216 = 0,784.
В четырёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,5. Найди вероятность не более одного успеха. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,3125
Подходят ноль успехов и ровно один: (1 + 4) · 0,5⁴ = 5 · 0,0625 = 0,3125.
В трёх независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,2. Найди вероятность хотя бы двух успехов. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,104
Подходят ровно два или три успеха: 3 · 0,2² · 0,8 + 0,2³ = 0,096 + 0,008 = 0,104.
В пяти независимых испытаниях вероятность успеха в каждом равна 0,8. Найди вероятность хотя бы одной неудачи. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,67232
Противоположное событие — пять успехов. Вероятность 1 − 0,8⁵ = 1 − 0,32768 = 0,67232.

Потренировать эту тему →

Первый успех

До первого успеха все исходы — неудачи.

Независимые испытания продолжают до первого успеха. Вероятность успеха в каждом равна 0,25. Найди вероятность, что первый успех наступит в третьем испытании. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,140625
Нужна цепочка из двух неудач и успеха: 0,75² · 0,25 = 0,140625.
Независимые испытания продолжают до первого успеха. Вероятность успеха в каждом равна 0,4. Найди вероятность, что первый успех наступит во втором испытании. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,24
Сначала неудача с вероятностью 0,6, затем успех с вероятностью 0,4. Произведение равно 0,24.
Независимые испытания продолжают до первого успеха. Вероятность успеха в каждом равна 0,3. Найди вероятность, что первый успех наступит не позже второго испытания. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,51
Противоположное событие — две начальные неудачи: 0,7² = 0,49. Искомая вероятность 1 − 0,49 = 0,51.
Независимые испытания продолжают до первого успеха. Вероятность успеха в каждом равна 0,2. Найди вероятность, что первый успех наступит в одном из первых трёх испытаний. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,488
Неуспех на всех трёх начальных шагах имеет вероятность 0,8³ = 0,512. Дополнение 1 − 0,512 = 0,488.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ: вероятность от 0 до 1, не процент. Конечная десятичная запись и равная обыкновенная дробь принимаются. В письменной работе обозначь успех, неудачу, независимость и постоянную вероятность. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 9 класс: ФРП 2025, содержание с. 93, результаты с. 95, тематическое планирование с. 106–107. Дата сверки — 5 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко, «Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.2.7.3.1. Законные методические рекомендации издателя 2023 года, план с. 35, § 53–56 прочитаны; целевые параграфы учебника не прочитаны. Содержание — по ФРП, задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 5 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Определи событие до вычисления

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Заданный порядок

Ровно столько успехов

Хотя бы и не более

Первый успех

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме