Степень с натуральным показателем: 7 класс

Определение степени и правила действий

Степень aⁿ при натуральном n > 1 — произведение n одинаковых множителей a. Число a называют основанием, n — показателем. Например, (−4)³ = (−4) · (−4) · (−4) = −64. Здесь основание −4, показатель 3. По определению a¹ = a.

Не умножай основание на показатель: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, а не 12. При натуральном показателе 0ⁿ = 0 и 1ⁿ = 1. Для десяти показатель показывает число нулей после единицы: 10⁶ = 1 000 000.

Скобки определяют основание: (−4)² = 16, а −4² = −16. Во втором случае сначала вычисляют 4², затем берут противоположное число. Отрицательное основание в чётной степени даёт положительный результат, в нечётной — отрицательный.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: a⁴ · a³ = a⁷. При делении вычитают показатель делителя: a⁸ : a³ = a⁵. Делитель не может быть нулём, поэтому a ≠ 0. Здесь берём m > n, чтобы разность показателей оставалась натуральной.

При возведении степени в степень показатели перемножают: (a³)⁴ = a¹². При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в эту степень: (2a)³ = 2³a³ = 8a³. Это разные свойства: не смешивай сложение и умножение показателей.

Свойство произведения не переносится на сумму: (a + b)² обычно не равно a² + b². Например, при a = 1, b = 3 получаем 16 и 10. Сначала выполни действия в скобках, затем возведение в степень, умножение и деление, сложение и вычитание.

Пример цепочки: (3²)³ : 3⁴ = 3⁶ : 3⁴ = 3² = 9. Удобное вычисление: 2,5² · 4² = (2,5 · 4)² = 10² = 100. При буквенных преобразованиях сначала запиши полный результат в тетради, затем введи то, что спрашивают: показатель, коэффициент или значение.

Вернуться к тренажёру →

Запиши преобразование и объясни

Реши четыре задания в тетради. Покажи промежуточные преобразования и назови использованные свойства; затем сверься с разбором. Автоматической оценки полного решения здесь нет.

1. Упрости (a³)⁴ · a² : a⁵ при a ≠ 0. Назови свойства на каждом шаге и объясни ограничение.

   Разбор и ориентиры для проверки

   (a³)⁴ · a² : a⁵ = a¹² · a² : a⁵ = a¹⁴ : a⁵ = a⁹. В первом шаге 3 · 4, затем 12 + 2, потом 14 − 5. При a = 0 исходный делитель a⁵ равен нулю, поэтому такое значение исключено, хотя конечная запись a⁹ сама по себе определена и при нуле.

   Проверь: Получено a⁹; показатели сначала умножены, затем сложены и вычтены; исключено a = 0.

2. Ученик утверждает: «−5⁴ и (−5)⁴ равны». Вычисли оба выражения и объясни роль скобок.

   Разбор и ориентиры для проверки

   −5⁴ = −(5 · 5 · 5 · 5) = −625. (−5)⁴ = (−5) · (−5) · (−5) · (−5) = 625. Чётный показатель делает степень отрицательного основания положительной; внешний минус у первой записи остаётся.

   Проверь: −625 и 625; во втором выражении отрицательное число является основанием, в первом минус стоит перед степенью.

3. Проверь утверждение «(2a)³ = 2a³ для любого a». Исправь формулу и приведи числовой контрпример к ошибочной записи.

   Разбор и ориентиры для проверки

   (2a)³ = 2³a³ = 8a³. Например, при a = 2 слева 4³ = 64, а справа в ошибочной записи 2 · 2³ = 16. Подходит любое другое ненулевое a с верным вычислением. При a = 0 обе части равны нулю, поэтому это не контрпример.

   Проверь: Правильная формула 8a³; приведено ненулевое a и получены разные значения двух частей ошибочного равенства.

4. Ребро одного куба 2 см, другого — в 3 раза больше. Запиши объёмы через степени, найди их и отношение объёма большего куба к объёму меньшего.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Меньший объём: 2³ = 8 см³. Большое ребро: 2 · 3 = 6 см; объём: 6³ = (2 · 3)³ = 2³ · 3³ = 216 см³. Отношение 216 : 8 = 27 = 3³. Во столько раз увеличился объём при увеличении ребра втрое.

   Проверь: 8 см³ и 216 см³; отношение 27, а не 3; показана связь со свойством степени произведения.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке