UrokDesk
Войти

Математика · 8 класс

Площади треугольника и четырёхугольников — 8 класс

11 задач и 3 письменных разбора: соответствующие основание и высота, диагонали ромба, площадь трапеции и разбиение фигуры. Чертежи, проверка и листы для печати.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Выбери основание и соответствующую высоту

Высота перпендикулярна прямой выбранного основания. В треугольнике её проводят из противоположной вершины; у тупоугольного треугольника основание высоты может лежать на продолжении стороны. Наклонная боковая сторона не заменяет высоту. Длины и прямые углы бери из условия и отметок, а не из измерений схемы.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту: S = a · h : 2. Для прямоугольного треугольника можно взять два катета: один является основанием, другой — высотой. Например, при основании 11 см и высоте 8 см площадь равна 44 см².

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на соответствующую высоту: S = a · h. Для другой стороны понадобится другая высота, но площадь останется той же. Чтобы найти высоту, раздели площадь на выбранное основание. Например, площадь 65 см² и основание 10 см дают высоту 6,5 см.

Площадь ромба можно найти как площадь параллелограмма или как половину произведения диагоналей: S = d₁ · d₂ : 2. Диагонали перпендикулярны и делятся пополам; они образуют четыре прямоугольных треугольника. Не подставляй диагональ вместо высоты к стороне.

Площадь трапеции равна половине произведения суммы оснований на высоту: S = (a + b) · h : 2. Высота — расстояние между прямыми параллельных оснований. Сумма боковых сторон в эту формулу не входит. Например, основания 7 см и 16 см, высота 4 см дают площадь 46 см².

До подстановки вырази длины в одинаковых единицах; площадь получится в квадратных единицах. Площади частей, которые не перекрываются, складываются. Диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника. Для каждого назови своё основание и высоту и объясни, почему их можно взять.

Вернуться к тренажёру →

Обоснуй формулу и разбиение

Письменные решения проверяет преподаватель. Назови основание и высоту каждой части; объясни равенство или сложение площадей.

  1. В трапеции ABCD основания AD и BC равны 18 см и 8 см, высота равна 7 см. Проведи диагональ AC. Найди площадь трапеции как сумму площадей двух треугольников и объясни, почему для обоих можно использовать высоту 7 см.

    Разбор и ориентиры для проверки

    У ACD основание AD = 18 см, расстояние от C до прямой AD равно расстоянию между параллельными основаниями, то есть 7 см. S₁ = 18 · 7 : 2 = 63 см². У ABC основание BC = 8 см и та же высота 7 см, поэтому S₂ = 28 см². Диагональ делит выпуклую трапецию на две части без наложения: площадь 91 см². Полное решение обосновывает обе высоты и сложение площадей. Другая диагональ даёт те же площади; одна подстановка в готовую формулу трапеции не выполняет требование о разбиении.

    Проверь: 63 + 28 = 91 см².

  2. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см, сторона — 13 см. Ученик нашёл площадь: 24 · 13 = 312 см². Проверь его решение. Объясни ошибку, затем найди площадь, разбив ромб диагоналями на четыре треугольника.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Высота должна быть перпендикулярна выбранному основанию; сторона не перпендикулярна диагонали ромба. Диагонали перпендикулярны друг другу и делятся пополам: катеты каждого из четырёх треугольников равны 5 см и 12 см. Площадь одного 5 · 12 : 2 = 30 см², всего 4 · 30 = 120 см². Полный ответ объясняет неподходящую пару основания и высоты, свойства диагоналей и сложение четырёх площадей. Проверка по формуле: 10 · 24 : 2 = 120 см².

    Проверь: 120 см². Диагональ не является основанием с высотой, равной стороне.

  3. Площадь треугольника ABC равна 72 см². M — середина BC. Найди площади ABM и AMC и докажи, что они равны. Нужно ли при этом равенство сторон AB и AC?

    Разбор и ориентиры для проверки

    BM = MC, а высота из A к прямой BC общая для обоих треугольников. Поэтому их площади равны как половины произведений равных оснований на одну высоту. Вместе они составляют весь ABC: каждая площадь 72 : 2 = 36 см². Полное рассуждение обосновывает общую высоту, равенство оснований и сложение площадей; медиана делит площадь пополам у любого треугольника, не только равнобедренного.

    Проверь: По 36 см². Равенство AB и AC не требуется.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Треугольник: основание и высота

Укажи основание и перпендикулярную ему высоту; учти множитель одна вторая.

  1. В треугольнике ABC высота AH опущена на прямую BC; H лежит вне отрезка BC, со стороны B. BC = 12 см, AH = 7 см. Найди площадь треугольника в см². Треугольник ABC. Высота AH перпендикулярна прямой BC; точка H на продолжении основания за вершину B. У H отмечен прямой угол. Длины BC и AH даны в условии.AHBCСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: 42

    Высота AH перпендикулярна прямой основания BC. Её положение вне треугольника не меняет формулу: S = 12 · 7 : 2 = 42 см². Отрезок BH для вычисления площади не нужен.

  2. Площадь треугольника равна 34,5 см², высота к выбранной стороне — 4,6 см. Найди длину этой стороны в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 15

    Из S = a · h : 2 получаем a = 2 · S : h. Длина основания: 2 · 34,5 : 4,6 = 15 см. Проверка: 15 · 4,6 : 2 = 34,5 см².

  3. Катеты прямоугольного треугольника равны 7,2 см и 5 см. Найди его площадь в см².

    Ответ и объяснение

    Ответ: 18

    Катеты перпендикулярны, поэтому можно взять один за основание, другой за высоту. S = 7,2 · 5 : 2 = 18 см². Гипотенузу находить не требуется.

Потренировать эту тему →

Параллелограмм: соответствующая высота

Не путай боковую сторону с высотой и проверь единицы длины.

  1. ABCD — параллелограмм. AD = 13 см, AB = 10 см. Высота BH к стороне AD равна 6 см. Найди площадь параллелограмма в см². Параллелограмм ABCD. Из B к основанию AD проведена высота BH. При H отмечен прямой угол; AB — наклонная боковая сторона. Длины заданы в условии.ABCDHСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: 78

    Основанию AD соответствует высота BH. S = 13 · 6 = 78 см². AB = 10 см — наклонная сторона, её нельзя использовать вместо высоты к AD.

  2. Стороны параллелограмма равны 14 см и 15 см. Высота к стороне 14 см равна 9 см. Найди высоту к стороне 15 см в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 8,4

    Сначала площадь: 14 · 9 = 126 см². Та же площадь равна 15 · h, поэтому h = 126 : 15 = 8,4 см. Новому основанию соответствует другая высота.

  3. Основание параллелограмма равно 1,2 дм, проведённая к нему высота — 7 см. Найди площадь в см².

    Ответ и объяснение

    Ответ: 84

    1,2 дм = 12 см. Теперь единицы одинаковы: S = 12 · 7 = 84 см². Число 1,2 нельзя умножить на 7 и назвать результат квадратными сантиметрами.

Потренировать эту тему →

Ромб и трапеция

Определи, какие именно элементы даны, и выбери формулу для них.

  1. Диагонали ромба равны 18 см и 12 см. Найди его площадь в см². Ромб ABCD. Проведены диагонали AC и BD; они пересекаются в O под прямым углом. Равные стороны отмечены одинаковыми штрихами. Длины диагоналей даны в условии.ABCDOСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: 108

    Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Четыре прямоугольных треугольника имеют катеты 9 см и 6 см. S = 4 · 9 · 6 : 2 = 108 см²; то же даёт 18 · 12 : 2.

  2. Площадь ромба равна 96 см², одна диагональ — 16 см. Найди вторую диагональ в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 12

    Из 96 = 16 · d : 2 следует d = 2 · 96 : 16 = 12 см. Проверка: 16 · 12 : 2 = 96 см².

  3. Основания трапеции равны 11 см и 19 см, высота — 5 см. Найди её площадь в см².

    Ответ и объяснение

    Ответ: 75

    Складываются основания: S = (11 + 19) · 5 : 2 = 75 см². Высота перпендикулярна обоим основаниям.

  4. Площадь трапеции равна 72 см², основания — 10 см и 14 см. Найди высоту в сантиметрах.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 6

    72 = (10 + 14) · h : 2 = 12 · h. Значит, h = 72 : 12 = 6 см. Проверка: (10 + 14) · 6 : 2 = 72 см².

Потренировать эту тему →

Площадь как сумма частей

Выдели неперекрывающиеся треугольники и найди основание и высоту каждого.

  1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагональ BD равна 10 см. Высоты AH и CK к прямой BD равны 6 см и 4,5 см. Вершины A и C лежат по разные стороны BD. Найди площадь ABCD в см². Выпуклый четырёхугольник ABCD разделён диагональю BD на треугольники ABD и CBD. A и C по разные стороны BD. Из A и C к прямой BD проведены перпендикуляры AH и CK. K лежит на продолжении BD за D. Длины даны в условии.ABCDHKСхема, не для измерений

    Ответ и объяснение

    Ответ: 52,5

    Диагональ BD делит четырёхугольник на треугольники ABD и CBD без перекрытия. S₁ = 10 · 6 : 2 = 30 см², S₂ = 10 · 4,5 : 2 = 22,5 см². Сумма равна 52,5 см². У двух частей общее основание, но разные высоты.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Введи число без обозначения единицы. Единица площади или длины названа в условии. Принимаются десятичная запятая и равные дроби. Письменное обоснование проверяет преподаватель. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 71; результаты, с. 74. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина. «Математика. Геометрия. 7–9 классы», базовый уровень, Просвещение, 2026. Содержание — по ФРП. Карточка издательства прочитана; целевые параграфы о площадях ученического издания не прочитаны. Их изложение не сверено. Задания и схемы авторские. Предпосылки: высота треугольника, свойства параллелограмма, ромба и трапеции. Площадь прямоугольника 5 класса тренируется на существующей отдельной странице.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.