Правильные многоугольники, дуги и секторы

Уточни объект и формат ответа

Прочитай, какой угол назван: внутренний, внешний, смежный с внутренним, или центральный. Это разные геометрические объекты.

Проверь, вписана ли окружность в многоугольник или многоугольник в окружность. Подпиши данные на собственном чертеже.

Для дуги и сектора указаны соответствующий центральный угол и нужная часть окружности. В ответе kπ или k$\sqrt{\text{3}}$ вводи только запрошенный коэффициент k; точную запись и единицы сохрани в тетради.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Построй правильный шестиугольник, вписанный в окружность радиуса 11 см. Найди сторону, радиус вписанной окружности и площадь шестиугольника. Обоснуй, почему можно использовать равносторонний центральный треугольник.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Центральный угол 60°, два радиуса равны 11; центральный треугольник равносторонний. Половина стороны $\frac{\text{11}}{\text{2}}$; по Пифагору высота $\frac{\text{11}\sqrt{\text{3}}}{\text{2}}$. Шесть треугольников дают 6·$\frac{\text{11·11}\sqrt{\text{3}}}{\text{4}}$=$\frac{\text{363}\sqrt{\text{3}}}{\text{2}}$. Критерии: конструкция, центральный угол, различённые радиусы, точные корни, площадь с единицами и объяснение равносторонности.

   Проверь: Сторона 11 см, вписанный радиус $\frac{\text{11}\sqrt{\text{3}}}{\text{2}}$см, площадь $\frac{\text{363}\sqrt{\text{3}}}{\text{2}}$см².

2. В окружности радиуса 17 см меньшая дуга AB соответствует центральному углу 40°. Найди длины обеих дуг AB и площади обоих секторов. Проверь суммы для полной окружности и круга.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Меньшая доля $\frac{\text{1}}{\text{9}}$, большая $\frac{\text{8}}{\text{9}}$; большой центральный угол 320°. Окружность 34πсм, круг 289πсм². Умножение на доли даёт названные результаты. Суммы $\frac{\text{306π}}{\text{9}}$=34π и $\frac{\text{2601π}}{\text{9}}$=289π. Критерии: два названных центральных угла, четыре точных результата, единицы и обе проверки сумм.

   Проверь: Дуги $\frac{\text{34π}}{\text{9}}$ и $\frac{\text{272π}}{\text{9}}$см; секторы $\frac{\text{289π}}{\text{9}}$ и $\frac{\text{2312π}}{\text{9}}$см².

3. Сектор окружности радиуса 18 см имеет дугу длиной $\frac{\text{15π}}{\text{2}}$см. Найди центральный угол в градусах и радианах и площадь сектора. Сравни площадь сектора с произведением радиуса на длину его дуги. Запиши связь этих величин и выведи её через доли круга.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Доля окружности $\frac{\text{15π}}{\text{2·36π}}$=$\frac{\text{5}}{\text{24}}$. Угол 360·$\frac{\text{5}}{\text{24}}$=75°; радианная мера $\frac{\text{L}}{\text{R}}$=$\frac{\text{5π}}{\text{12}}$. Площадь 324π·$\frac{\text{5}}{\text{24}}$=$\frac{\text{135π}}{\text{2}}$. Из L=2πR·d и S=πR²·d при одинаковой доле d следует RL=2S. Критерии: обе меры угла, точная площадь, единицы, пояснение множителя 2 без готовой числовой подсказки в условии.

   Проверь: 75° = $\frac{\text{5π}}{\text{12}}$рад; площадь $\frac{\text{135π}}{\text{2}}$см².

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке