Математика · 9 класс

Геометрическая вероятность: длина, площадь и дуга

Вычисляй вероятность при равномерном выборе точки из отрезка, фигуры или окружности. Задания на длины, площади, дуги и обратные задачи с проверкой для 9 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Выбери правильную меру

Сначала выясни, откуда выбирают точку и что означает равномерность: одинаковые длины или одинаковые площади имеют одинаковую вероятность.

На отрезке и окружности сравнивай длины благоприятной части и всего места выбора; внутри плоской фигуры сравнивай площади. Не подменяй площадь периметром.

Если благоприятные части не пересекаются, их меры складывают. Для события вне выделенной части можно рассмотреть дополнение.

Отдельная точка на отрезке и линия внутри фигуры имеют нулевую меру в соответствующей модели. Включение границы не меняет ответ при равномерном непрерывном выборе.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Точку равномерно по площади выбирают из прямоугольника 15 см на 8 см. Внутри выделены два непересекающихся треугольника: основание и высота первого 5 см и 6 см, второго 7 см и 4 см. Найди две вероятности: 1) попадания хотя бы в один из треугольников; 2) попадания вне обоих треугольников. Объясни выбор модели.
Разбор и ориентиры для проверки
Полная площадь 120 см², площади частей 15 и 14 см². Непересечение позволяет сложить их: 29 см². Дополнение 91 см². Критерии: площадь вместо периметра, оба деления на одну полную площадь, условие непересечения и сумма вероятностей 1. Любая равная дробь допустима.
Проверь: В треугольники: $\frac{29}{120}$ ; вне обоих: $\frac{91}{120}$ .
Точку равномерно по площади выбирают внутри круга радиуса 12 см. В нём выделено кольцо между окружностями радиусов 4 см и 10 см, имеющими тот же центр, что и исходный круг. Найди вероятность попадания в кольцо. Ученик предлагает использовать разность радиусов вместо площадей. Объясни ошибку.
Разбор и ориентиры для проверки
Площадь кольца π(100 − 16), полная площадь 144π. Отношение 84 : 144 = $\frac{7}{12}$ . Выбор равномерен по площади, поэтому сравнение длин радиусов не описывает долю благоприятных точек. Критерии: две границы кольца, разность площадей и правильный знаменатель; точная равная дробь допустима.
Проверь: $\frac{7}{12}$ .
Точку равномерно по длине выбирают из [0; 24]. Событие A: координата лежит в [3; 12]; событие B: в [9; 18]. Найди вероятности A, B и «A или B». Почему нельзя просто сложить первые две вероятности?
Разбор и ориентиры для проверки
Каждый отрезок имеет длину 9, объединение [3; 18] — длину 15. Общая часть [9; 12] длиной 3 при сложении учитывалась бы дважды. Критерии: интервалы изображены на прямой, вычислены три отношения к 24, объяснён двойной счёт. Допустимо применить формулу объединения с вычитанием пересечения.
Проверь: P(A) = P(B) = $\frac{3}{8}$ ; P(A или B) = $\frac{5}{8}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Точка на отрезке

В каждом условии указан непрерывный равномерный выбор.

Точку равномерно по длине выбирают из [0; 30]. Найди вероятность попадания в [7; 19]. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,4
Длина благоприятной части 19 − 7 = 12, всего отрезка 30. Вероятность 12 : 30 = 0,4.
Точку равномерно по длине выбирают из [−6; 14]. Найди вероятность, что её координата больше 8. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,3
Благоприятная часть от 8 до 14 имеет длину 6. Полная длина 20; 6 : 20 = 0,3.
Точку равномерно по длине выбирают из [0; 40]. Найди вероятность попадания в [2; 6] или в [24; 30]. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Участки не пересекаются. Сумма длин (6 − 2) + (30 − 24) = 10; 10 : 40 = 0,25.
Точку равномерно по длине выбирают из [−10; 10]. Найди вероятность, что расстояние от неё до начала координат меньше 3. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,3
Условие задаёт промежуток (−3; 3), длина 6. Полная длина 20; вероятность 0,3.

Потренировать эту тему →

Точка внутри фигуры

Равномерность задана по площади.

Точку равномерно по площади выбирают внутри прямоугольника 12 см на 10 см. Внутри него выделен прямоугольник 3 см на 8 см. Найди вероятность попадания в выделенную часть. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2
Площади равны 120 см² и 24 см²; отношение 24 : 120 = 0,2.
В прямоугольнике 10 см на 8 см выделен треугольник с основанием 6 см и высотой к этому основанию 4 см. Он целиком внутри прямоугольника. Точку выбирают равномерно по площади. Найди вероятность попадания в треугольник. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,15
Площадь треугольника 6 · 4 : 2 = 12 см². Площадь прямоугольника 80 см²; 12 : 80 = 0,15.
Точку равномерно по площади выбирают из круга радиуса 10 см. Найди вероятность попадания в концентрический круг радиуса 3 см. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,09
Отношение площадей π · 3² : (π · 10²) = 9 : 100 = 0,09. Общий множитель π сокращается.
Точку равномерно по площади выбирают из круга радиуса 6 см. Найди вероятность, что её расстояние до центра больше 3 см. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,75
Внутренний круг занимает долю 3² : 6² = 0,25. Вероятность внешнего кольца 1 − 0,25 = 0,75.

Потренировать эту тему →

Точка на окружности

Выбор на линии окружности, а не внутри круга.

Точку равномерно по длине выбирают на окружности. Выделена дуга с центральным углом 72°. Найди вероятность попадания на эту дугу. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,2
Доля длины дуги равна доле полного угла: 72 : 360 = 0,2.
Точку равномерно по длине выбирают на окружности. Выделены две непересекающиеся дуги с центральными углами 54° и 36°. Найди вероятность попадания хотя бы на одну из них. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Сумма центральных углов 90°. Вероятность 90 : 360 = 0,25; общих участков нет.
Точку равномерно по длине выбирают на окружности. Выделена дуга с центральным углом 126°. Найди вероятность попадания вне этой дуги. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,65
Выделенная дуга занимает 126 : 360 = 0,35 всей длины. Дополнение имеет вероятность 1 − 0,35 = 0,65.
Точку равномерно по длине выбирают из дуги с центральным углом 240°. Внутри неё выделена дуга с центральным углом 60°. Найди вероятность попадания в выделенную часть. Запиши вероятность числом, не процентом. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,25
Место выбора — исходная дуга, а не вся окружность. Отношение длин 60 : 240 = 0,25.

Потренировать эту тему →

Обратная задача

Определи размер благоприятной части.

Точку равномерно по длине выбирают из отрезка длиной 35 см. Вероятность попасть на выделенный подотрезок равна 0,4. Найди его длину в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 14
Длина благоприятной части составляет 0,4 полной длины: 35 · 0,4 = 14 см.
Точку равномерно по площади выбирают из квадрата со стороной 8 см. Вероятность попасть в выделенную фигуру равна 0,375. Найди площадь этой фигуры в квадратных сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 24
Площадь квадрата 64 см². Благоприятная площадь 64 · 0,375 = 24 см².
Точку равномерно по длине выбирают на окружности. Вероятность попасть на выделенную дугу равна 0,3. Найди центральный угол этой дуги в градусах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 108
Дуга занимает 0,3 полной длины окружности. Центральный угол 360 · 0,3 = 108°.
Точку равномерно по длине выбирают из [0; 50]. Вероятность, что её координата не меньше a, равна 0,32. Известно, что 0 < a < 50. Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 34
Длина благоприятной части 50 − a = 50 · 0,32 = 16. Поэтому a = 34.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Дай краткий числовой ответ. Вероятность записывай числом от 0 до 1, не процентом. Если в вопросе запрошена длина, площадь или угол, единица названа в самом условии. Полную модель и вычисления запиши в тетради. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 9 класс: ФРП 2025, содержание с. 93, результаты с. 95, тематическое планирование с. 106. Дата сверки — 5 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко, «Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы», часть 2, Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.2.7.3.1. Законные методические рекомендации издателя 2023 года, план с. 34, § 51–52 прочитаны; целевые параграфы учебника не прочитаны. Содержание — по ФРП, задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 5 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Выбери правильную меру

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Точка на отрезке

Точка внутри фигуры

Точка на окружности

Обратная задача

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме