Множества и диаграммы Эйлера, 8 класс

Элемент, множество и область на рисунке

Множество состоит из элементов. Запись 3 ∈ A означает, что число 3 принадлежит A; 3 ∉ B — что оно не принадлежит B. В записи {2, 5, 7} порядок не важен, повторы не добавляют новых элементов. Множества {2, 5} и {5, 2, 2} равны.

A ⊂ B означает: каждый элемент A принадлежит B; A — подмножество B. Здесь знак ⊂ допускает равенство, как в используемом школьном курсе: A ⊂ A. Элемент и множество различаются: 5 ∈ {5, 8}, а {5} ⊂ {5, 8}.

Пустое множество ∅ не содержит элементов. Оно является подмножеством любого множества. Множество {0} содержит один элемент — число ноль — и не является пустым.

Пересечение A ∩ B содержит общие элементы A и B. Объединение A ∪ B содержит элементы хотя бы одного из них: общие элементы записывают один раз. Например, для K = {2, 4}, L = {4, 9} получаем K ∩ L = {4}, K ∪ L = {2, 4, 9}.

Сначала укажи универсальное множество U: все объекты, которые сейчас рассматриваются. Дополнение A в U — элементы U, не входящие в A. При U = {2, 4, 6, 8} и A = {2, 8} дополнение равно {4, 6}. Разность A и B — элементы A, которых нет в B; здесь мы будем называть её словами.

На диаграмме Эйлера прямоугольник задаёт U, замкнутые области — множества. Общая область кругов показывает пересечение; оба круга целиком — объединение. Дополнение A находится в прямоугольнике вне круга A. Числа внутри областей в наших рисунках — сами элементы, а не количества элементов.

Порядок множеств при объединении и пересечении не важен: K ∪ L = L ∪ K, K ∩ L = L ∩ K. Скобки можно переставлять между одинаковыми операциями: (K ∪ L) ∪ M = K ∪ (L ∪ M), аналогично для пересечения. При разных операциях скобки важны.

Пересечение распределяется относительно объединения: K ∩ (L ∪ M) = (K ∩ L) ∪ (K ∩ M). Объединение — относительно пересечения: K ∪ (L ∩ M) = (K ∪ L) ∩ (K ∪ M). Чтобы проверить запись, проследи, в какие множества входит произвольный элемент, или построй диаграмму.

При подсчёте числа элементов объединения общая часть не должна учитываться дважды: сложи количества в A и B и вычти количество в A ∩ B. Например, если в группах 6 и 5 человек, а в обеих 2, то хотя бы в одной 6 + 5 − 2 = 9 человек.

Вернуться к тренажёру →

Построй диаграмму и обоснуй ответ

Перечисляй элементы без повторов, подписывай универсальное множество и области. Порядок перечисления и форма замкнутых линий могут различаться.

1. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 3, 5, 7}, B = {3, 4, 7, 8}. Построй диаграмму, разместив все элементы U. Выпиши A ∩ B, A ∪ B и дополнение A в U.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Проверяются все девять элементов ровно по одному разу, подписи U, A и B, четыре области и три операции. Элементы дополнения могут находиться в B, если они вне A. Любой порядок перечисления и другое аккуратное расположение областей допустимы.

   Проверь: Общая часть {3, 7}; только A {1, 5}; только B {4, 8}; вне кругов {2, 6, 9}. Объединение {1, 3, 4, 5, 7, 8}; дополнение A {2, 4, 6, 8, 9}.

2. Из 28 учеников 16 изучают английский язык в кружке, 12 — испанский, 7 посещают оба кружка. Нарисуй диаграмму с количеством учеников в каждой из четырёх областей. Сколько посещают ровно один кружок и сколько — ни одного? Объясни, почему нельзя просто сложить 16 и 12.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Начинать удобно с общей семёрки: 16 − 7 = 9, 12 − 7 = 5. Всего в кружках 9 + 7 + 5 = 21; вне 28 − 21 = 7. Ровно один: 9 + 5 = 14. При сложении 16 + 12 учащиеся обоих кружков учитываются дважды. Проверяются разбиение всех 28 учеников и объяснение двойного подсчёта.

   Проверь: Только английский — 9, только испанский — 5, оба — 7, ни одного — 7. Ровно один — 14, хотя бы один — 21.

3. Ученик утверждает: «Если A ∩ B = A, то A и B обязательно равны». Опровергни утверждение собственным примером двух непустых множеств. Объясни, какое включение следует из A ∩ B = A на самом деле.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Принимается любой пример с непустыми A и B, в котором A — собственная часть B. Нужно проверить пересечение и показать хотя бы один элемент B вне A. Из равенства пересечения A следует, что каждый элемент A входит и в B; обратное включение не следует.

   Проверь: Например, A = {2}, B = {2, 5}: пересечение равно A, но множества не равны. Обязательно A ⊂ B, где равенство допускается.

4. A = {1, 2, 3}, B = {2, 4}, C = {3, 4}. Вычисли отдельно обе части равенства A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Затем объясни словами, почему это свойство работает для любых множеств. Доказывает ли одна числовая проверка общее свойство?

   Разбор и ориентиры для проверки

   Кроме вычислений нужен общий довод: принадлежность A и хотя бы одному из множеств B, C равносильна принадлежности A и B либо A и C. Проверка одного примера показывает выполнение в нём, но сама по себе не доказывает свойство для всех множеств. Любое ясное равносильное объяснение принимается.

   Проверь: B ∪ C = {2, 3, 4}; левая часть {2, 3}. A ∩ B = {2}, A ∩ C = {3}; правая часть {2, 3}.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке