Математика · 8 класс

График функции квадратного корня, 8 класс

Область определения и значения функции квадратного корня, чтение графика и построение по удобным точкам. Письменное объяснение ограничений.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

График арифметического корня

Функция y = $\sqrt{x}$ определена при x ≥ 0, её значения неотрицательны.

Удобно выбирать аргументы — квадраты неотрицательных чисел. По мере увеличения x значение корня увеличивается.

При восстановлении x по значению y ≥ 0 возводят y в квадрат и проверяют подстановкой.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Построй y = $\sqrt{x}$ при 0 ≤ x ≤ 36. Объясни, почему нельзя добавить ветвь с отрицательными y, как при решении уравнения y² = x.
Разбор и ориентиры для проверки
Уравнение y² = x при x > 0 имеет два значения y, но функция арифметического корня выбирает неотрицательное. Нужны обозначенные оси и масштаб. Допускаются другие точные точки и другая последовательность объяснения.
Проверь: Одна неотрицательная плавная ветвь; например, точки (0; 0), (1; 1), (16; 4), (36; 6).
Найди все точки пересечения y = $\sqrt{x}$ и y = x. Укажи, когда допустимо возвести равенство в квадрат, и проверь ответ.
Разбор и ориентиры для проверки
Допустимы x ≥ 0, и при них обе части неотрицательны. После возведения в квадрат x = x², корни 0 и 1 подходят. Проверка исходного равенства обязательна.
Проверь: (0; 0) и (1; 1).
На одном рисунке изобрази y = $\sqrt{x}$ и y = x² при x ≥ 0. Найди все общие точки и сравни значения функций при x = 0,25.
Разбор и ориентиры для проверки
При x ≥ 0 из $\sqrt{x}$ = x² получаем x = x⁴, то есть x(x³ − 1) = 0. В базовом школьном решении можно отдельно рассмотреть 0, 0 < x < 1, x = 1, x > 1; не требуются старшие методы.
Проверь: Общие точки (0; 0) и (1; 1); при x = 0,25 корень 0,5 больше квадрата 0,0625.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вычисление значения

Арифметический корень неотрицателен.

Для y = $\sqrt{x}$ найди y при x = 49.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
$\sqrt{49}$ = 7. Значение −7 не является арифметическим корнем.
Для y = $\sqrt{x}$ найди y при x = 0,81.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,9
0,9² = 0,81 и 0,9 ≥ 0.
Для y = $\sqrt{x}$ найди y при x = $\frac{9}{16}$ . Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{3}{4}$
( $\frac{3}{4}$ )² = $\frac{9}{16}$ ; берём неотрицательное значение.
Для y = $\sqrt{x}$ найди y при x = 144.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
12² = 144; берём неотрицательное значение.

Потренировать эту тему →

Аргумент по значению

Проверь найденное x подстановкой в формулу.

Для y = $\sqrt{x}$ значение y равно 5. Найди x.
Ответ и объяснение
Ответ: 25
x = 5² = 25. Проверка: $\sqrt{25}$ = 5.
Для y = $\sqrt{x}$ значение y равно 0,4. Найди x.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,16
x = 0,4² = 0,16.
Сколько аргументов дают y = −3 для функции y = $\sqrt{x}$ ?
Ответ и объяснение
Ответ: 0
Арифметический корень неотрицателен; решений нет.
Для y = $\sqrt{x}$ значение y равно $\frac{5}{2}$ . Найди x. Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{25}{4}$
x = ( $\frac{5}{2}$ )² = $\frac{25}{4}$ .

Потренировать эту тему →

Определение и значения корня

Сверяй каждое значение с определением арифметического корня.

Сколько чисел из списка −2; −0,5; 0; 0,5; 2 входят в область определения функции y = $\sqrt{x}$ ?
Варианты: 1) 2; 2) 5; 3) 3
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Подходят неотрицательные числа: 0; 0,5 и 2 — всего три. Нуль тоже входит: $\sqrt{0}$ = 0.
Какая точка принадлежит графику y = $\sqrt{x}$ ?
Варианты: 1) (0,36; 0,06); 2) (1,3; 1,69); 3) (2,25; 1,5)
Ответ и объяснение
Ответ: (2,25; 1,5)
1,5² = 2,25, поэтому $\sqrt{2,25}$ = 1,5 и подходит (2,25; 1,5). $\sqrt{0,36}$ = 0,6, а не 0,06. Точка (1,3; 1,69) лежит на графике y = x²: здесь число возвели в квадрат вместо извлечения корня.
Сравни $\sqrt{0,49}$ и 0,49.
Варианты: 1) Корень больше; 2) Корень меньше; 3) Они равны
Ответ и объяснение
Ответ: Корень больше
$\sqrt{0,49}$ = 0,7, а 0,7 > 0,49.

Потренировать эту тему →

График и вычисление

Ответ проверь вычислением: возведи y в квадрат — получишь x.

По графику найди x при y = 2.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
На высоте 2 кривая пересекает вертикаль первого деления x; оно означает 4.
По графику найди y при x = 9.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
x = 9 расположен между делениями 8 и 12; точка кривой имеет y = 3.
Сколько общих точек у графика y = $\sqrt{x}$ и прямой y = 1,1?
Варианты: 1) Одну; 2) Ни одной; 3) Две
Ответ и объяснение
Ответ: Одну
$\sqrt{x}$ = 1,1 только при x = 1,21. Значение корня растёт вместе с x, поэтому каждое неотрицательное значение функция принимает ровно один раз.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число. Десятичную часть отдели запятой или точкой; точную дробь запиши в дробные поля или через черту. Значение, прочитанное по графику, проверь по формуле. Построения проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 43; результаты, с. 47. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень», Просвещение; шестнадцатое переработанное издание, строка 477 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. В тематическом планировании пособия «Математика. Алгебра. Методические рекомендации. 7–9 классы (к учебнику Макарычева Ю. Н. и др.)» (Просвещение, 2023) пункт 45 о свойствах обратной пропорциональности и функции квадратного корня стоит в 8 классе. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

График арифметического корня

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Вычисление значения

Аргумент по значению

Определение и значения корня

График и вычисление

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме