Математика · 8 класс

Центральные и вписанные углы окружности, 8 класс

Угол и его дуга, общая дуга, полуокружность и выбор большей или меньшей дуги. Расчёты, рисунки и доказательства.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

На какую дугу опирается угол

Центральный угол имеет вершину в центре окружности. Его градусная мера равна мере соответствующей дуги.

Вписанный угол имеет вершину на окружности, стороны пересекают её ещё в двух точках. Он равен половине меры дуги между этими точками, которая не содержит его вершину.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Для угла, опирающегося на диаметр, эта дуга — полуокружность.

Один набор концов хорды задаёт две дуги. Положение вершины вписанного угла определяет, какая дуга нужна. Всегда уточняй малую или большую дугу и расположение вершины.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Точки A, B, C, D лежат на окружности в указанном порядке. Угол DAB = 76°. Найди угол BCD и докажи ответ, явно указав две дуги BD.
Разбор и ориентиры для проверки
DAB опирается на дугу BCD с мерой 152°. BCD опирается на оставшуюся дугу BAD с мерой 208°, поэтому 104°. Допустима доказанная теорема о противоположных углах вписанного четырёхугольника; одно название без указания применимости недостаточно.
Проверь: 104°; углы опираются на дополняющие до 360° дуги, их сумма 180°.
AB — диаметр, C на окружности. Угол CAB = 36°. Найди другие углы треугольника и соответствующие дуги AB, BC, AC, не содержащие третью вершину.
Разбор и ориентиры для проверки
Сначала угол на диаметре, затем сумма треугольника. Каждая нужная дуга удваивает соответствующий вписанный угол; явно указано, какую из двух дуг выбрали.
Проверь: C = 90°, B = 54°; дуги AB = 180°, BC = 72°, AC = 108°.
Малая дуга AB равна 110°. Отметь точку C на большой дуге AB и точку D на малой. Найди углы ACB и ADB, сравни их и обоснуй ответ.
Разбор и ориентиры для проверки
Первый опирается на дугу 110°, второй на оставшуюся 250°. Сумма 180°; одинаковые концы хорды недостаточны для равенства при разных дугах.
Проверь: 55° и 125°.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Центральный и вписанный

Углы должны опираться на одну и ту же дугу.

Малая дуга AB равна 74°, точка C лежит на другой дуге AB. Найди угол ACB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 37
Вписанный угол ACB опирается на малую дугу AB и равен половине её градусной меры: 74 : 2 = 37°.
Центральный угол, соответствующий малой дуге AB, равен 126°. C лежит на большой дуге AB. Найди угол ACB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 63
Углы опираются на одну малую дугу; вписанный вдвое меньше: 63°.
Вписанный угол 38° опирается на дугу AB. Найди градусную меру этой дуги.
Ответ и объяснение
Ответ: 76
Дуга вдвое больше вписанного угла: 76°.
Центральный угол 84° и вписанный угол опираются на одну дугу. Найди разность этих углов в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 42
Вписанный 42°, разность 84 − 42 = 42°.
Вписанный угол равен 29°. Центральный угол опирается на ту же дугу. Найди центральный угол в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 58
Вписанный угол вдвое меньше центрального на той же дуге: 2 · 29 = 58°.

Потренировать эту тему →

Выбор дуги

Вершина вписанного угла не принадлежит его дуге.

Малая дуга AB равна 100°. C лежит на этой малой дуге и не совпадает с A или B. Найди угол ACB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 130
Угол опирается на большую дугу AB, не содержащую C: 360 − 100 = 260°. Угол ACB = 260 : 2 = 130°.
Малая дуга AB равна 140°. C лежит на большой дуге AB. Найди угол ACB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 70
Угол опирается на малую дугу без C: 140 : 2 = 70°.
Малая дуга AB равна 80°. C лежит на малой дуге между A и B. Найди угол ACB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 140
Нужна большая дуга 360 − 80 = 280°; половина 140°.
AB — диаметр окружности, C на окружности и отлична от A, B. Найди угол ACB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 90
Угол опирается на полуокружность 180°, половина 90°.
Точки A, E, B, C, D идут по окружности последовательно. На какую дугу опирается вписанный угол ACB?
Варианты: 1) Дугу ADB; 2) Дугу CDA; 3) Дугу AEB
Ответ и объяснение
Ответ: Дугу AEB
Стороны угла ACB проходят через A и B, поэтому он опирается на одну из дуг AB: на дугу AEB или на дугу ADB. Дуга ADB проходит через вершину C, а вершина вписанного угла не лежит на его дуге. Значит, угол опирается на дугу AEB. Дуга CDA лежит между вершиной C и точкой A — это не дуга угла ACB.

Потренировать эту тему →

Общая дуга

Проверь положение вершин относительно хорды.

Точки A, B, C, D лежат на окружности; C и D — на одной дуге AB. Угол ACB = 53°. Найди сумму углов ACB и ADB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 106
C и D на одной дуге, оба угла опираются на другую дугу AB и равны 53°. Сумма 106°.
Точки A, B, C, D лежат на окружности в этом порядке. Угол DAB = 68°. Найди угол BCD в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 112
Угол DAB опирается на дугу BCD, она равна 2 · 68 = 136°. Угол BCD опирается на оставшуюся дугу BAD: 360 − 136 = 224°, поэтому угол BCD = 224 : 2 = 112°.
Точки A, B, C, D лежат на окружности; C и D — на одной дуге AB, угол ADB = 47°. Найди градусную меру дуги AB, на которой нет точек C и D.
Ответ и объяснение
Ответ: 94
Вершина D вписанного угла ADB не лежит на дуге, на которую он опирается, — это дуга AB без точек C и D. Вписанный угол равен половине своей дуги, поэтому дуга равна 2 · 47 = 94°.
Вписанный угол опирается на дугу 100°. Центральный угол опирается на ту же дугу. Найди сумму этих двух углов в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 150
Вписанный угол равен 100 : 2 = 50°, центральный — 100°; сумма 150°.
Стороны двух вписанных углов проходят через концы хорды AB, а их вершины лежат на разных дугах AB. Что всегда верно для этих углов?
Варианты: 1) Они равны; 2) Их сумма 180°; 3) Один из них вдвое больше другого
Ответ и объяснение
Ответ: Их сумма 180°
Углы опираются на две дуги AB, которые вместе составляют 360°. Каждый угол равен половине своей дуги, поэтому их сумма всегда равна 360 : 2 = 180°. Равны они только тогда, когда AB — диаметр. Вдвое больше вписанного угла центральный угол на той же дуге, а не другой вписанный угол.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 72; результаты, с. 74. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

На какую дугу опирается угол

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Центральный и вписанный

Выбор дуги

Общая дуга

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме