Математика · 8 класс

Дробно-рациональные уравнения и ОДЗ, 8 класс

Область допустимых значений (ОДЗ), общий знаменатель, уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, и отбор корней. Полное решение проверяется в письменной работе.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Ограничения до преобразования

Сначала найди область допустимых значений (ОДЗ): выпиши значения x, при которых исходные знаменатели обращаются в нуль, — они запрещены. Ограничения сохраняются и после сокращения дроби.

На ОДЗ можно умножить обе части на общий знаменатель. После решения полученного уравнения проверь каждый кандидат в исходном условии.

Знаменатель не может быть нулём, но числитель может. Дробь равна нулю, когда числитель нулевой, а знаменатель ненулевой.

Уравнение может иметь несколько допустимых корней или не иметь их. В коротком вопросе прямо указано, требуется ли меньший или больший корень или их количество.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Реши уравнение $\frac{x²−4}{x−2}$ =4. Запиши ОДЗ и объясни итоговый набор решений.
Разбор и ориентиры для проверки
ОДЗ: x ≠ 2. На ОДЗ дробь равна x + 2, поэтому x + 2 = 4 даёт x = 2. В исходной дроби при x = 2 знаменатель нулевой. Принимается умножение на x − 2 с последующим отбором, но сокращение без ограничения недостаточно.
Проверь: Решений нет: единственный кандидат 2 запрещён.
Реши $\frac{x²−5x+6}{x−2}$ = 0. Запиши ОДЗ, всех кандидатов и полный ответ.
Разбор и ориентиры для проверки
Числитель (x − 2)⁠(x − 3); кандидаты 2 и 3, первый запрещён. Подстановка 3 даёт нуль при ненулевом знаменателе.
Проверь: Единственный корень 3, ОДЗ x ≠ 2.
Реши $\frac{12}{x}$ = x−1. Укажи все допустимые корни и проверь их в исходном уравнении.
Разбор и ориентиры для проверки
12 = x² − x; x² − x − 12 = 0 = (x − 4)⁠(x + 3). При 4 обе части 3, при −3 обе части −4.
Проверь: −3 и 4; ОДЗ x ≠ 0.
Ученик умножил $\frac{x−2}{x−2}$ = 2 на x−2 и получил x = 2. Исправь вывод и объясни, на каких значениях преобразование равносильно.
Разбор и ориентиры для проверки
На ОДЗ исходная левая часть равна 1, поэтому 1 = 2 невозможно. Кандидат 2 обращает исходный знаменатель в нуль.
Проверь: Решений нет; умножать равносильно только при x ≠ 2.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Ограничения

Найди значения, при которых знаменатель обращается в нуль.

В уравнении $\frac{x+2}{x−5}$ =3 одно значение x запрещено. Найди это значение.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Исходный знаменатель x−5 не должен равняться нулю. Запрещено x=5.
Какое из чисел входит в область допустимых значений уравнения $\frac{3}{(x + 7)(x − 2)}$ = 1?
Варианты: 1) −7; 2) 2; 3) 7
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Знаменатель (x + 7)⁠(x − 2) равен нулю при x = −7 и при x = 2, эти значения запрещены. При x = 7 знаменатель равен 70, а не нулю, поэтому 7 входит в ОДЗ.
Сколько значений x запрещено в уравнении $\frac{7}{x² + 5x}$ = 1?
Ответ и объяснение
Ответ: 2
x² + 5x = x(x + 5); знаменатель равен нулю при x = 0 и при x = −5. Запрещены два значения.
Ученик сократил дробь в уравнении $\frac{x(x − 3)}{x}$ = 5 и получил x − 3 = 5. Какие ограничения на x нужно учесть?
Варианты: 1) x ≠ 0; 2) x ≠ 3; 3) x ≠ 0 и x ≠ 3
Ответ и объяснение
Ответ: x ≠ 0
Ограничение даёт исходный знаменатель x: x ≠ 0. Множитель x − 3 стоит в числителе и ограничений не даёт. Сокращение дроби условия x ≠ 0 не снимает.

Потренировать эту тему →

Решение на ОДЗ

После умножения проверь найденное число.

Реши уравнение $\frac{6}{x−1}$ =2. Запиши его корень.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
ОДЗ: x ≠ 1. Умножим обе части на x − 1: 6 = 2x − 2, 2x = 8, x = 4. Проверка: $\frac{6}{4 − 1}$ = 2.
Реши $\frac{x+1}{x−2}$ = 2. Запиши корень.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
ОДЗ x ≠ 2. x + 1 = 2x − 4, откуда x = 5. Проверка: 6 : 3 = 2.
Реши $\frac{3}{x}$ = $\frac{2}{x+1}$ . Запиши корень.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
ОДЗ x ≠ 0, −1. 3(x + 1) = 2x; x = −3. Обе части равны −1.
Реши $\frac{x−4}{x+2}$ = 0. Запиши корень.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Числитель нулевой при 4, знаменатель при этом 6 ≠ 0; корень 4.
Реши $\frac{8}{x−1}$ = x+1. Найди меньший из допустимых корней.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
ОДЗ x ≠ 1. 8 = x² − 1, поэтому x = ±3; оба допустимы, меньший −3.

Потренировать эту тему →

Отбор кандидатов

Сокращение не снимает ограничение исходной дроби.

Сколько корней имеет уравнение $\frac{x² − 36}{x − 6}$ = 0?
Ответ и объяснение
Ответ: 1
ОДЗ: x ≠ 6. Числитель равен нулю при x = −6 и x = 6, но 6 запрещено. Остаётся один корень −6.
Сколько корней имеет $\frac{x²−16}{x−4}$ = 8?
Ответ и объяснение
Ответ: 0
На ОДЗ x ≠ 4 получаем x + 4 = 8. Единственный кандидат 4 запрещён.
Сколько корней имеет $\frac{x²−1}{x+1}$ = 0?
Ответ и объяснение
Ответ: 1
Исключён −1; из кандидатов ±1 допустим только 1.
Реши $\frac{x²−4}{x−1}$ = 0. Найди больший корень.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
ОДЗ x ≠ 1. Числитель даёт −2 и 2; оба допустимы, больший 2.
Сколько корней имеет $\frac{1}{x−2}$ = $\frac{1}{x+2}$ ?
Ответ и объяснение
Ответ: 0
При x ≠ ±2 умножение даёт x + 2 = x − 2, то есть 2 = −2. Это невозможно.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число. Десятичную часть отдели запятой или точкой. Если у уравнения несколько корней, прочитай, что требуется в коротком ответе: меньший корень, больший или их количество. Полное решение с ОДЗ проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 43; результаты, с. 46. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень», Просвещение; шестнадцатое переработанное издание, строка 477 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Ограничения до преобразования

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Ограничения

Решение на ОДЗ

Отбор кандидатов

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме