Квадратные неравенства и метод интервалов, 9 класс

Как решить квадратное неравенство

Квадратное неравенство (неравенство второй степени с одной переменной) приводится к виду ax² + bx + c > 0, где a ≠ 0; вместо > может стоять <, ≥ или ≤. Сначала раскрой скобки и перенеси все слагаемые в одну часть, чтобы в другой остался 0. Решить неравенство — найти все значения x, при которых оно верно, или показать, что таких значений нет.

Найди корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, то есть корни уравнения ax² + bx + c = 0. Корни — границы промежутков. Ответ неравенства — множество значений x, при которых трёхчлен имеет нужный знак; сами корни входят в него только при ≤ и ≥.

Графический способ. График функции y = ax² + bx + c — парабола; при a > 0 её ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Отметь корни на оси x и схематически нарисуй параболу. Там, где парабола выше оси x, трёхчлен положителен, где ниже — отрицателен.

Метод интервалов. При двух корнях x₁ < x₂ трёхчлен раскладывается на множители: ax² + bx + c = a(x − x₁)⁠(x − x₂). Корни делят числовую прямую на три промежутка. Правее большего корня знак трёхчлена совпадает со знаком a, а при переходе через каждый корень знак меняется. Выбери промежутки с нужным знаком.

При знаках < и > корни в ответ не входят: на прямой точки выколоты, в записи скобки круглые. При ≤ и ≥ корни входят: точки закрашены, скобки квадратные. У −∞ и +∞ скобки всегда круглые; два луча объединяют знаком ∪.

Если D = 0, у трёхчлена один корень x₀ и ax² + bx + c = a(x − x₀)². Квадрат не бывает отрицательным и равен нулю только при x = x₀, поэтому при переходе через x₀ знак не меняется. Если D < 0, корней нет: парабола не пересекает ось x, и при всех x трёхчлен имеет знак a; ответ — вся числовая прямая или «решений нет». При D = 0 ответом может быть вся прямая, все числа, кроме x₀, одно число x₀ или «решений нет».

Пример: 4 + 3x ≥ x². Переносим слагаемые: −x² + 3x + 4 ≥ 0. Умножаем обе части на −1 и меняем знак неравенства: x² − 3x − 4 ≤ 0. Корни −1 и 4, ветви параболы направлены вверх, между корнями трёхчлен отрицателен, корни входят. Ответ: [−1; 4].

Целые решения отбирай из уже найденного множества: при строгом знаке целый корень в него не входит. Если вопрос ограничивает числа отрезком [m; n], отбери из множества решений целые числа этого отрезка; сами m и n входят в ответ, только если они решения неравенства. Натуральные числа — 1, 2, 3, …

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Реши неравенство x(2x − 1) ≥ 10 методом интервалов. Перенеси слагаемые, разложи трёхчлен на множители, укажи знаки на трёх промежутках, изобрази решение на числовой прямой и запиши ответ.

   Разбор и ориентиры для проверки

   2x² − x − 10 ≥ 0; D = 1 + 80 = 81, корни −2 и 2,5; 2x² − x − 10 = 2(x + 2)⁠(x − 2,5). Знаки на промежутках (−∞; −2), (−2; 2,5), (2,5; +∞): +, −, +. Знак ≥, поэтому точки −2 и 2,5 закрашены и входят в ответ. Критерии: верный перенос и корни; разложение или другое обоснование знаков; закрашенные концы и выделенные лучи; ответ объединением с квадратными скобками у чисел −2 и 2,5. Графический способ с параболой, ветви которой направлены вверх, равноценен.

   Проверь: (−∞; −2] ∪ [2,5; +∞).

2. Ученик решал неравенство 10 + 3x − x² > 0 так: «Корни трёхчлена −2 и 5. Трёхчлен положителен вне корней, ответ: (−∞; −2) ∪ (5; +∞)». Найди ошибку, реши неравенство верно, изобрази решение на числовой прямой и подставь по одному числу из каждого из трёх промежутков.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Старший коэффициент −1 < 0: ветви параболы направлены вниз, и трёхчлен положителен между корнями. Равносильная запись после умножения на −1 со сменой знака: x² − 3x − 10 < 0. Ответ (−2; 5), концы выколоты. Проверка: при x = 0 получаем 10 > 0 — верно; при x = 6 получаем 10 + 18 − 36 = −8 < 0, поэтому 6 не решение. Критерии: названа ошибка (не учтён знак a или не сменён знак неравенства), верные корни и промежуток, выколотые точки, проверка числом.

   Проверь: (−2; 5); не учтён знак старшего коэффициента.

3. Реши каждое неравенство и объясни ответ через знак старшего коэффициента и дискриминант: а) x² + 4x + 7 > 0; б) x² + 4x + 7 < 0; в) −x² + 12x − 36 ≥ 0; г) −x² + 12x − 36 < 0.

   Разбор и ориентиры для проверки

   а), б) D = 16 − 28 = −12 < 0 и a = 1 > 0: парабола выше оси x, трёхчлен положителен при всех x; иначе x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3. в), г) −x² + 12x − 36 = −(x − 6)²: при x = 6 выражение равно нулю, при остальных x отрицательно. Критерии: четыре верных множества; объяснение через a и D или через выделение квадрата; в пункте в) указано одно число 6, в пункте г) исключена только точка 6. Пустое множество можно записать знаком ∅.

   Проверь: а) (−∞; +∞); б) решений нет; в) x = 6; г) (−∞; 6) ∪ (6; +∞).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке