Математика · 9 класс

Биквадратные уравнения: замена и возврат к переменной

Биквадратные уравнения: замена переменной, отбор допустимых значений и полный набор корней. Числовые ответы с автопроверкой, письменные решения и разбор ошибок для 9 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Проверь ход решения

При замене t = x² исходное уравнение становится квадратным относительно t. Для действительного x значения t должны быть неотрицательными.

Реши полученное квадратное уравнение и отдельно вернись от каждого допустимого t к x. Различные действительные корни учитывают один раз, даже если множитель повторяется.

Не теряй корень при делении на выражение с переменной. Если преобразование требует деления, сначала проверь, когда делитель равен нулю.

Запиши полный набор корней в тетради и проверь подстановкой. В поле ответь только на числовой вопрос задания; объяснение после ответа позволяет проверить свой ход решения.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши x⁴ − 73x² + 576 = 0. Запиши замену, решение полученного уравнения, полный набор действительных корней и проверку.
Разбор и ориентиры для проверки
t = x²; t² − 73t + 576 = 0, (t − 9)⁠(t − 64) = 0. t = 9 или 64, оба значения допустимы. x = ±3 или ±8. Проверка: 81 − 657 + 576 = 0 и 4096 − 4672 + 576 = 0. Критерии: корректная замена, оба допустимых t, оба знака для каждого, полный набор и подстановка; порядок корней любой.
Проверь: x = −8, −3, 3, 8.
Реши x⁴ + 11x² − 60 = 0. Объясни, какие значения после замены допустимы, и запиши полный набор действительных корней.
Разбор и ориентиры для проверки
t² + 11t − 60 = 0: t = 4 или −15. t = −15 исключается, так как t = x² ≥ 0. t = 4 даёт x = ±2. Проверка 16 + 44 − 60 = 0. Критерии: отрицательное t не превращено в действительный корень, положительное t даёт оба знака, объяснение и проверка; разложение исходного выражения на множители также допустимо.
Проверь: x = −2 или x = 2.
Ученик решал x⁴ − 49x² = 0, разделил на x² и получил только x = −7 и x = 7. Исправь решение, назови полный набор действительных корней и объясни потерю.
Разбор и ориентиры для проверки
x²(x² − 49) = 0. Первый множитель даёт x = 0; второй x = ±7. Деление на x² разрешено лишь при x ≠ 0, поэтому до деления нужно проверить нулевое значение. Критерии: назван потерянный корень, обоснована недопустимость безусловного деления, полный набор проверен. Замена t = x² с отбором t = 0 и t = 49 — равноценный способ.
Проверь: x = −7, 0, 7; потерян x = 0.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Два допустимых значения после замены

Реши уравнение и найди запрошенный корень или величину.

Реши x⁴ − 10x² + 9 = 0. Каков наибольший действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
t² − 10t + 9 = 0: t = 1 или 9. Корни −3, −1, 1, 3; наибольший 3.
Реши x⁴ − 20x² + 64 = 0. Каков наименьший действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
t² − 20t + 64 = 0: t = 4 или 16. Корни −4, −2, 2, 4; наименьший −4.
Реши x⁴ − 26x² + 25 = 0. Найди сумму положительных корней. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
t = 1 или 25; положительные корни 1 и 5. Их сумма 6.
Реши x⁴ − 34x² + 225 = 0. Найди разность между наибольшим и наименьшим корнями. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
t = 9 или 25; наибольший корень 5, наименьший −5. Разность 5 − (−5) = 10.
Реши 4x⁴ − 41x² + 100 = 0. Каков наибольший действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2,5
4t² − 41t + 100 = 0; D = 81; t = 4 или 6,25. Корни: −2,5; −2; 2; 2,5; наибольший 2,5.
Реши x⁴ − 58x² + 441 = 0. Найди произведение двух положительных корней. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 21
t = 9 или 49; положительные корни 3 и 7, произведение 21.

Потренировать эту тему →

Отбор допустимых значений

Учитывай действительность корней и проверь все значения после замены.

Сколько различных действительных корней имеет x⁴ − 5x² − 36 = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
t² − 5t − 36 = 0: t = 9 или −4. Отрицательное t исключаем; остаются x = −3 и x = 3 — два корня.
Реши x⁴ + 7x² − 144 = 0. Каков наименьший действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
t = 9 или −16. Допустимо только t = 9; x = −3 или 3. Наименьший −3.
Реши 4x⁴ + 7x² − 2 = 0. Каков положительный действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0,5
4t² + 7t − 2 = 0: t = 0,25 или −2. Из t = 0,25 получаем x = −0,5 или 0,5. Положительный 0,5.
Сколько различных действительных корней имеет x⁴ − 18x² + 81 = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
t² − 18t + 81 = 0 имеет одно значение t = 9. Оно даёт два различных корня x = −3 и x = 3.
Сколько различных действительных корней имеет x⁴ − 6x² + 10 = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
t² − 6t + 10 = 0; D = 36 − 40 = −4. Действительных значений t нет, следовательно, действительных корней x нет.
Сколько различных действительных корней имеет x⁴ + 5x² + 4 = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
t = −1 или −4. Оба значения отрицательны и не могут быть квадратом действительного x. Корней нет.

Потренировать эту тему →

Нулевой свободный член

Реши исходное уравнение и сосчитай различные корни.

Сколько различных действительных корней имеет x⁴ − 8x² = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
x²(x² − 8) = 0; x = 0 или x = ± $\sqrt{8}$ . Это три различных действительных корня.
Сколько различных действительных корней имеет 3x⁴ + 12x² = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
3x²(x² + 4) = 0. Из x² = 0 получаем x = 0; x² = −4 невозможно. Один действительный корень.
Реши 2x⁴ − 50x² = 0. Каков наименьший действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −5
2x²(x² − 25) = 0. Корни −5, 0, 5; наименьший −5.
Реши 5x⁴ − 45x² = 0. Каков наибольший действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
5x²(x² − 9) = 0. Корни −3, 0, 3; наибольший 3.

Потренировать эту тему →

Коэффициент при четвёртой степени

После замены сохраняй коэффициенты и вернись к исходной переменной.

Реши 9x⁴ − 85x² + 196 = 0. Каков меньший из положительных корней? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
9t² − 85t + 196 = 0; D = 169; t = 4 или $\frac{49}{9}$ . Положительные корни 2 и $\frac{7}{3}$ ; меньший 2.
Реши 16x⁴ − 40x² + 9 = 0. Найди разность между наибольшим и наименьшим действительными корнями. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
t = 0,25 или 2,25; корни: −1,5; −0,5; 0,5; 1,5. Разность 1,5 − (−1,5) = 3.
Сколько различных действительных корней имеет 2x⁴ − 13x² + 15 = 0? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
2t² − 13t + 15 = 0: t = 1,5 или 5. Оба значения положительны, каждое даёт два различных корня. Всего четыре.
Реши 4x⁴ − 15x² − 4 = 0. Каков отрицательный действительный корень? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
4t² − 15t − 4 = 0: t = 4 или −0,25. Допустимо t = 4, откуда x = −2 или 2. Отрицательный корень −2.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Требуется краткий числовой ответ на вопрос условия. Минус и десятичная запятая допустимы. Не вписывай весь набор корней, когда спрашивается один корень или количество. Полный набор и обоснование проверяются отдельно по письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 9 класс: уравнения, сводящиеся к квадратным, и биквадратное уравнение — содержание с. 43; результаты с. 46–47; тематическое планирование с. 63. Дата сверки — 3 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 9 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026; номер ФПУ 1.1.2.7.1.5. Целевые параграфы в законном фрагменте не прочитаны. Содержание и границы класса сверены с ФРП; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 3 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Проверь ход решения

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Два допустимых значения после замены

Отбор допустимых значений

Нулевой свободный член

Коэффициент при четвёртой степени

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме