Числовые последовательности: формула и рекуррентное правило

Различай номер и значение

Прочитай, требуется ли значение члена или его номер. Индекс и найденное число выполняют разные роли.

Для рекуррентной записи проверь начальные условия и порядок применения правила. Нельзя пропускать нужный промежуточный член.

Продолжение задаётся указанным правилом. Несколько первых чисел без правила сами по себе не определяют единственный следующий член.

Если в вопросе назван конечный список, рассматривай только его. Для дробного ответа сохрани точное значение.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Для aₙ = n(n+1), n=1,2,3,…, вычисли первые пять членов и изобрази их точками (n; aₙ) на координатной плоскости. Найди a₁₀. Объясни, почему нельзя соединить точки и считать всю полученную линию графиком данной последовательности.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Подстановка натуральных номеров даёт указанные пары. При n=10 получаем10·11=110. Последовательности заданы только натуральные номера; линия между точками добавила бы значения при нецелых аргументах, которых в условии нет. Критерии: пять правильных пар, подписанные оси и масштаб, отдельные точки, подстановка десятого номера и объяснение ограничения на аргументы.

   Проверь: Первые члены2,6,12,20,30; точки(1;2),(2;6),(3;12),(4;20),(5;30); a₁₀=110.

2. Последовательность задана a₁ = 2, aₙ₊₁ = 3aₙ + 2 для n=1,2,3,… . Вычисли первые четыре члена. Для формулы bₙ = 3ⁿ − 1 проверь начальный член и равенство bₙ₊₁ = 3bₙ + 2. Объясни, почему это проверяет совместимость формулы и рекуррентного задания.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Переходы дают2→8→26→80. Для явной формулы b₁=3−1=2; 3bₙ+2=3(3ⁿ−1)+2=3ⁿ⁺¹−1=bₙ₊₁. Начальное значение и одинаковый однозначный переход дают одинаковые последующие члены. Критерии: четыре члена, два отдельных равенства, корректные свойства степени и объяснение порядка переходов. Формальный метод математической индукции не требуется.

   Проверь: 2,8,26,80; b₁=2 и bₙ₊₁=3bₙ+2.

3. Дан конечный список из восьми членов aₙ = (−1)ⁿ⁺¹(n+2), n=1,…,8. Выпиши все члены и найди их сумму. Объясни, почему для определения следующего члена произвольной последовательности недостаточно знать только её первые два числа без правила.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Нечётные номера дают положительные члены, чётные — отрицательные. Суммы четырёх соседних пар равны−1, общая сумма−4. Два первых числа фиксируют только два значения; третий и остальные могут задаваться разными правилами. Например, списки3,−4,5 и3,−4,100 имеют те же первые два значения. В нашем задании формула задана, поэтому список однозначен. Критерии: восемь членов с верными знаками, сумма, соблюдение конечной границы и объяснение роли заданного правила.

   Проверь: 3,−4,5,−6,7,−8,9,−10; сумма−4. Без правила продолжение не единственно.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке