Графики функций: свойства и соответствие формуле

Как сопоставлять формулу и график

Проверь не только форму линии, но и её положение: пересечения с осями, направление ветвей, масштаб и точки. Показанный фрагмент не задаёт границы всей функции.

Область определения относится к допустимым аргументам, множество значений — к полученным значениям функции. Учитывай запрет нулевого знаменателя и условие существования арифметического корня.

Для неизвестного коэффициента подставь координаты точки. Линейная функция задаётся двумя различными точками с разными абсциссами.

Монотонность исследуй на названном промежутке. Две ветви, разделённые недопустимым аргументом, не объединяй без проверки.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Сравни функции f(x) = $\frac{\text{−18}}{\text{x}}$ и g(x) = |x − 2| − 5. Для каждой укажи область определения, множество значений и промежутки монотонности. Построй эскизы и объясни, почему области определения различаются.

   Разбор и ориентиры для проверки

   У f знаменатель не может равняться нулю, а ненулевое значение даёт аргумент −18 : y; отрицательный коэффициент задаёт ветви во второй и четвёртой четвертях. У g вершина (2; −5), расстояние аргумента от 2 уменьшается слева и увеличивается справа. Критерии: две области и два множества значений, раздельные промежутки для гиперболы, вершина модуля, корректные эскизы и объяснение ограничения. Концы промежутков модуля можно включать.

   Проверь: f: x ≠ 0, y ≠ 0, возрастает на каждом из (−∞; 0) и (0; +∞). g: все x, y ≥ −5, убывает до 2 и возрастает после 2.

2. На одной координатной плоскости построй y = 3x + 2 и y = x² + 2. Найди все общие точки. Проверь их подстановкой и объясни, чем отличаются свойства этих функций.

   Разбор и ориентиры для проверки

   3x + 2 = x² + 2 даёт x(x − 3) = 0. При x = 0 обе ординаты равны 2, при x = 3 равны 11. Прямая возрастает на всей прямой; парабола убывает до 0 и возрастает после, её значения не меньше 2. Критерии: обе точки и проверки, масштаб, плавная парабола, верное сравнение монотонности и множества значений.

   Проверь: Общие точки (0; 2) и (3; 11).

3. Ученик считает, что графики y = $\sqrt{\text{x + 8}}$ и y = $\sqrt{\text{x}}$ + 8 совпадают. Проверь утверждение: найди области определения и значения при x = 1. Объясни, какие разные сдвиги получаются.

   Разбор и ориентиры для проверки

   В первом случае под корнем сумма x + 8: это сдвиг исходного графика на 8 влево. Во втором к корню прибавляют 8: сдвиг на 8 вверх. Критерии: оба ограничения, две подстановки, разные направления сдвигов и вывод о несовпадении; контрпример достаточен для опровержения, но не заменяет запрошенное исследование.

   Проверь: Первый: x ≥ −8, при x = 1 значение 3. Второй: x ≥ 0, при x = 1 значение 9.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке