Математика · 8 класс

Теорема Фалеса и пропорциональные отрезки, 8 класс

Соответствие отрезков на двух секущих, равные и пропорциональные части, условия применения теоремы. Расчёты и письменное обоснование.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Параллельные прямые отсекают соответствующие части

Если несколько параллельных прямых отсекают равные отрезки на одной секущей, они отсекают равные отрезки и на другой.

В общем случае соответствующие отрезки на двух секущих пропорциональны. Сохраняй одинаковый порядок точек: часть сопоставляй с соответствующей частью, а весь отрезок — со всем отрезком.

Нужна параллельность прямых, пересекающих две секущие, из условия или доказательства. Внешний вид схемы не даёт права применять теорему.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

В треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах AB и AC, DE ∥ BC. AD : DB = 4 : 7, AE = 16 см. Найди EC и объясни, какие отрезки сопоставляются.
Разбор и ориентиры для проверки
16 : EC = 4 : 7, поэтому EC = 16 · 7 : 4 = 28 см. Допустим расчёт AC = 16 · $\frac{11}{4}$ = 44 см с последующим вычитанием 16. Нужны расположение D, E и параллельность; соотношение $\frac{AD}{AB}$ = $\frac{AE}{AC}$ также верно.
Проверь: EC = 28 см; использовано AD : DB = AE : EC.
В треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах AB и AC, DE ∥ BC. AD = 5 см, DB = 7 см, AE = 10 см. Найди AC и EC, покажи две равносильные пропорции.
Разбор и ориентиры для проверки
AD : AB = AE : AC, то есть 5 : 12 = 10 : AC; AD : DB = AE : EC, то есть 5 : 7 = 10 : EC. Допускаются другие корректные соответствия.
Проверь: AC = 24 см, EC = 14 см.
Дан отрезок AB. Опиши построение деления его на три равные части с помощью вспомогательного луча, циркуля и параллельных прямых. Обоснуй построение теоремой Фалеса.
Разбор и ориентиры для проверки
Луч не совпадает с AB; равные части задаются циркулем. Параллельные можно построить переносом угла. Теорема обеспечивает три равных отрезка на AB, измерение не является доказательством.
Проверь: На луче из A три равных отрезка, крайняя точка соединена с B, через две остальные проведены параллельные.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Равные части

Выдели отдельные соответствующие отрезки.

Три параллельные прямые пересекают одну секущую последовательно в точках A, B, C, а другую — в точках D, E, F. AB = BC, DE = 5 см. Найди DF в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
По теореме Фалеса DE = EF = 5 см, поэтому DF = 5 + 5 = 10 см.
Три параллельные прямые пересекают секущие в порядке A, B, C и D, E, F. AB = BC, DF = 18 см. Найди EF в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
DE = EF; весь DF состоит из двух равных частей. 18 : 2 = 9 см.
Четыре параллельные прямые отсекают три равных промежутка на одной секущей. На другой весь отрезок между крайними прямыми 24 см. Найди один промежуток в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
По Фалесу все три соответствующих промежутка равны; 24 : 3 = 8 см.
Три параллельные прямые пересекают секущие в A, B, C и D, E, F. DE = EF, AC = 15 см. Найди AB в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 7,5
Теорема применяется и при перестановке секущих: AB = BC, значит, AB = 15 : 2 = 7,5 см.

Потренировать эту тему →

Пропорциональные части

Не путай часть и целое.

Три параллельные прямые пересекают секущие последовательно в A, B, C и D, E, F. AB = 4 см, BC = 6 см, DF = 35 см. Найди DE в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 14
AB : AC = DE : DF, то есть 4 : 10 = DE : 35. DE = 35 · $\frac{4}{10}$ = 14 см.
Три параллельные прямые пересекают секущие в A, B, C и D, E, F. AB = 3 см, BC = 5 см, DE = 6 см. Найди EF в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
AB : BC = DE : EF, то есть 3 : 5 = 6 : EF; EF = 6 · 5 : 3 = 10 см.
В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AB, точка E — на стороне AC, DE ∥ BC. AD = 4 см, DB = 8 см, AC = 15 см. Найди AE в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
AB = 4 + 8 = 12 см. AD : AB = AE : AC, то есть 4 : 12 = AE : 15, поэтому AE = 15 · 4 : 12 = 5 см.
В треугольнике ABC точка D лежит на стороне AB, точка E — на стороне AC, DE ∥ BC. AD = 6 см, DB = 9 см, AE = 8 см. Найди EC в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 12
AD : DB = AE : EC, то есть 6 : 9 = 8 : EC; EC = 8 · 9 : 6 = 12 см.
Три параллельные прямые пересекают секущие последовательно в A, B, C и соответственно D, E, F. AB : BC = 2 : 5, DF = 21 см. Найди EF в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
DE : EF = AB : BC = 2 : 5. Весь DF — 7 частей, EF — 5 частей: 21 · 5 : 7 = 15 см.

Потренировать эту тему →

Условия применения

Сопоставь соответствующие отрезки двух секущих.

Прямые a, b и c пересекают первую секущую в точках A, B, C, а вторую — в точках D, E, F соответственно. Известно, что a ∥ b и AB = BC. Какого условия не хватает, чтобы по теореме Фалеса утверждать, что DE = EF?
Варианты: 1) AC ∥ DF; 2) AD ∥ CF; 3) c ⊥ AC
Ответ и объяснение
Ответ: AD ∥ CF
Теорема Фалеса применяется, когда все три прямые параллельны. Прямая a проходит через точки A и D, а прямая c — через C и F, поэтому AD ∥ CF означает a ∥ c. Вместе с данным a ∥ b все три прямые параллельны, и из AB = BC следует DE = EF. Условие AC ∥ DF говорит о самих секущих: теорема его не требует, а направление прямой c оно не задаёт. Перпендикулярность c к AC тоже не даёт: прямые a и b к AC могут быть не перпендикулярны, и тогда c им не параллельна.
Три параллельные прямые пересекают одну секущую в точках K, L, M, а другую — соответственно в точках P, R, S. Какое отношение равно LM : KM?
Варианты: 1) PS : RS; 2) PS : PR; 3) RS : PS
Ответ и объяснение
Ответ: RS : PS
Соответствующие отрезки: KL и PR, LM и RS, весь KM и весь PS. Поэтому LM : KM = RS : PS. Отношение PS : RS перевёрнуто, а PS : PR соответствует KM : KL.
Точки N и Q лежат на сторонах AB и AC треугольника ABC, NQ ∥ BC. Какое равенство всегда верно?
Варианты: 1) AN : NB = QC : AQ; 2) AN : AB = AQ : AC; 3) AN : AB = QC : AC
Ответ и объяснение
Ответ: AN : AB = AQ : AC
AN и AQ — соответствующие части сторон от вершины A, а AB и AC — сами стороны, поэтому AN : AB = AQ : AC. В двух других равенствах отрезку AN поставлен в соответствие QC, а соответствует ему AQ. Такие равенства верны, только когда N и Q — середины сторон.
Параллельные прямые AD, BE и CF пересекают первую секущую в точках A, B, C, а вторую — в точках D, E, F. AB = 2 см, BC = 7 см, EF = 14 см. Чему равна длина DE?
Варианты: 1) 4 см; 2) 18 см; 3) 49 см
Ответ и объяснение
Ответ: 4 см
По теореме о пропорциональных отрезках DE : EF = AB : BC = 2 : 7, поэтому DE = 14 · 2 : 7 = 4 см. 49 см получится, если перевернуть отношение, а 18 см — это весь отрезок DF.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 71; результаты, с. 73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Параллельные прямые отсекают соответствующие части

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Равные части

Пропорциональные части

Условия применения

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме