Математика · 8 класс
Квадратный трёхчлен: разложение и проверка множителей
Разложение квадратного трёхчлена: знаки, старший коэффициент, повторный корень и проверка раскрытием скобок. Короткие задания с проверкой и письменные решения для 8 класса.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
Проверь своё разложение
В разложении должны сохраниться все коэффициенты исходного трёхчлена. Раскрой скобки и отдельно сравни старший коэффициент, коэффициент при x и свободный член.
Различай корень трёхчлена и знак числа внутри множителя. Проверяй предполагаемый корень подстановкой в исходное выражение.
При повторном корне два линейных множителя совпадают. При отрицательном дискриминанте разложения на действительные линейные множители нет.
Не теряй числовой множитель перед скобками. Полный ход разложения и проверка нужны в письменной работе; одно число в коротком поле их не заменяет.
Запиши решение и проверь
Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.
Разложи на действительные линейные множители 6x² − 13x − 5. Найди корни и проверь результат раскрытием скобок. Объясни, где в разложении сохраняется старший коэффициент.
Разбор и ориентиры для проверки
Дискриминант 169 + 120 = 289, корни (13 ± 17) : 12. Раскрытие (3x + 1)(2x − 5) даёт 6x² − 15x + 2x − 5. Допустима форма 6(x + )(x − ). Критерии: оба корня, полный множитель 6, равное произведение и проверка всех коэффициентов.
Проверь: (3x + 1)(2x − 5); корни − и .
Ученик написал: «3x² − 18x + 27 = (x − 3)²». Проверь запись, исправь её и объясни ошибку. Найди все действительные корни исходного трёхчлена.
Разбор и ориентиры для проверки
Правая часть ученика равна x² − 6x + 9. Он потерял общий множитель 3. Правильная запись 3(x² − 6x + 9) = 3(x − 3)². Корень 3 повторный. Критерии: исходная запись опровергнута, множитель восстановлен, названы повторность корня и проверка раскрытием.
Проверь: 3(x − 3)²; единственный различный корень 3.
Исследуй, можно ли разложить x² + 4x + 7 на действительные линейные множители. Проверь вывод двумя способами: через дискриминант и выделение полного квадрата.
Разбор и ориентиры для проверки
D = 4² − 4 · 7 = −12. Полный квадрат неотрицателен, поэтому выражение больше нуля при любом действительном x. Критерии: два независимых довода, отсутствие действительных корней и связь с невозможностью линейного разложения; комплексные числа не требуются.
Проверь: Нельзя; D = −12, а x² + 4x + 7 = (x + 2)² + 3 > 0.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.
Приведённый трёхчлен
Найди число в пропущенном множителе, затем раскрой скобки.
Разложение x² − 5x − 24 имеет вид (x − a)(x + 3). Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
(x − a)(x + 3) = x² + (3 − a)x − 3a. Из 3 − a = −5 получаем a = 8; −3 · 8 = −24.
Разложение x² + 7x + 10 имеет вид (x + 2)(x + b). Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
После раскрытия скобок коэффициент при x равен 2 + b. Поэтому b = 5; произведение 2 · 5 равно 10.
Разложение x² − 3x − 28 имеет вид (x + a)(x − 7). Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Коэффициент при x равен a − 7 = −3, поэтому a = 4. Свободный член −7 · 4 = −28.
Разложение x² + 3x − 18 имеет вид (x − 3)(x + b). Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Сумма коэффициентов при x после раскрытия равна b − 3 = 3, значит b = 6. Свободный член −3 · 6 = −18.
Старший коэффициент и повторный корень
Проверь все три коэффициента исходного выражения.
Разложение 3x² − 11x + 6 имеет вид (3x − a)(x − 3). Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Раскрываем: 3x² − (9 + a)x + 3a. Число a = 2 даёт −11x и свободный член 6.
Разложение 2x² + x − 15 имеет вид (2x + 5)(x − b). Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Коэффициент при x равен 5 − 2b = 1, откуда b = 3. Свободный член −5 · 3 = −15.
Трёхчлен 4x² − 12x + 9 разложен как (2x − a)². Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
(2x − a)² = 4x² − 4ax + a². При a = 3 средний член −12x, свободный член 9.
Разложение −2x² + 20x − 50 имеет вид A(x − 5)². Найди A. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
Квадрат равен x² − 10x + 25. Умножение на A = −2 даёт все коэффициенты исходного трёхчлена.
Выбери полное разложение
В каждой задаче один верный вариант.
Какое разложение верно для x² − 9x + 20?
Варианты: 1) (x + 4)(x + 5); 2) (x − 2)(x − 10); 3) (x − 4)(x − 5); 4) (x + 4)(x − 5)
Ответ и объяснение
Ответ: (x − 4)(x − 5)
Верный вариант 3: сумма −4 и −5 равна −9, произведение равно 20. Раскрытие даёт исходный трёхчлен.
Какое разложение верно для 2x² − 7x + 3?
Варианты: 1) (2x − 1)(x − 3); 2) (2x − 3)(x − 1); 3) (x − 1)(x − 3); 4) (2x + 1)(x − 3)
Ответ и объяснение
Ответ: (2x − 1)(x − 3)
Верный вариант 1: 2x² − 6x − x + 3 = 2x² − 7x + 3. В остальных меняются средний или старший коэффициент.
Какое разложение верно для x² + 12x + 36?
Варианты: 1) (x − 6)²; 2) (x + 3)(x + 12); 3) (x + 4)(x + 9); 4) (x + 6)²
Ответ и объяснение
Ответ: (x + 6)²
Верный вариант 4: (x + 6)² = x² + 12x + 36. Знак среднего члена положительный.
Какое разложение верно для 5x² + 5x − 30?
Варианты: 1) (5x − 2)(x + 3); 2) 5(x − 2)(x + 3); 3) 5(x + 2)(x − 3); 4) (5x + 2)(x − 3)
Ответ и объяснение
Ответ: 5(x − 2)(x + 3)
Верный вариант 2: 5(x² + x − 6) = 5x² + 5x − 30. Числовой множитель 5 относится ко всему произведению.
Восстанови и исследуй
Разложение выполняется над действительными числами.
Трёхчлен x² + bx − 40 разложен как (x − 5)(x + 8). Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Раскрытие даёт x² + (8 − 5)x − 40, поэтому b = 3.
Трёхчлен 6x² + bx − 6 разложен как (3x − 2)(2x + 3). Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Средние члены 9x − 4x дают 5x; старший член 6x² и свободный член −6 сохраняются.
На сколько различных действительных линейных множителей вида x − a раскладывается x² + 6x + 9? Числовой множитель и повторения не учитывай. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
x² + 6x + 9 = (x + 3)². Линейный множитель x + 3 повторяется; различных множителей вида x − a только один.
Сколько различных действительных корней у трёхчлена x² − 2x + 8? Если действительных корней нет, запиши 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
Дискриминант 4 − 32 = −28. Действительных корней нет, и разложения на действительные линейные множители тоже нет.
Вопросы о тренировке
Как записывать ответ?
В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.
Это подготовка к ВПР или ОГЭ?
Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.
Программа и границы проверки
Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 8 класс: ФРП 2025, содержание с. 42, результаты с. 46, тематическое планирование с. 55–56. Дата сверки — 4 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.
Учебник из федерального перечня № 436: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026, ISBN 978-5-09-127793-7, ФПУ 1.1.2.7.1.4. Содержание и класс — по ФРП. Законная карточка издателя прочитана; целевой параграф учебника не прочитан. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 5 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.
Другие темы для тренировки
Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.