Теорема Пифагора: задачи для 8 класса

Формула, чертёж и обратная теорема

Теорема Пифагора применяется к прямоугольному треугольнику: c² = a² + b², где c — гипотенуза, a и b — катеты. Гипотенуза лежит против прямого угла; поворот рисунка ничего не меняет. Нельзя узнавать её только по наклону.

Чтобы найти гипотенузу, сложи квадраты катетов и извлеки положительный корень: c = $\sqrt{\text{a² + b²}}$. Для катета вычти из квадрата гипотенузы квадрат другого катета: a = $\sqrt{\text{c² − b²}}$. В ответе о длине знак ± не нужен.

Например, при гипотенузе 41 см и катете 9 см: b² = 41² − 9² = 1681 − 81 = 1600, b = 40 см. Проверка: 9² + 40² = 41². Нельзя заменять разность квадратов разностью длин.

Обратная теорема: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. В ФРП 8 класса она отдельно не названа, поэтому задания на неё дополнительные. Сравнивай квадрат наибольшей стороны. Для 11, 60, 61: 11² + 60² = 3721 = 61²; прямой угол лежит против стороны 61. Если даны только три отрезка, проверь также, что из них существует треугольник.

Точный ответ может содержать корень: при катетах 2 и 3 см гипотенуза равна $\sqrt{\text{13}}$ см. Если специально требуется округление до десятых, запиши $\sqrt{\text{13}}$ см ≈ 3,6 см. Числовое поле принимает число или дробь; точные корни в короткой части выбирают из вариантов, в письменной записывают самостоятельно.

Для доказательства прямой теоремы дострой четыре равных прямоугольных треугольника до квадрата со стороной a + b. Стороны центральной фигуры равны c, а её углы прямые: два соседних острых угла в сумме дают 90°. Поэтому (a + b)² = 4 · $\frac{\text{ab}}{\text{2}}$ + c². Раскрой скобки и сократи 2ab: c² = a² + b².

Для доказательства обратной теоремы при c² = a² + b² построй прямоугольный треугольник с катетами a и b. По прямой теореме его гипотенуза тоже равна c. Он равен исходному по трём сторонам, значит соответствующий угол исходного треугольника прямой.

В практической задаче сначала нарисуй модель и обоснуй прямой угол: например, стена перпендикулярна земле или фигура — прямоугольник. Приведи длины к одной единице. Запиши равенство квадратов, вычисли длину и проверь, что гипотенуза больше каждого катета. Чертёж — схема, измерять по нему ответ нельзя.

Вернуться к тренажёру →

6 письменных работ: чертежи и доказательства

Сделай собственный чертёж, запиши условия применимости и ход решения. В доказательствах объясни каждый переход. Разбор даёт критерии: преподаватель принимает и другое математически верное решение.

1. Сформулируй и докажи теорему Пифагора через площади. Построй квадрат из четырёх равных прямоугольных треугольников с катетами a, b и гипотенузой c. Объясни, почему центральная фигура — квадрат, и сравни два выражения площади.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Сторона внешнего квадрата a + b. Четыре угловых треугольника равны по двум катетам; стороны центральной фигуры равны c. Каждый её угол равен 180° минус сумма двух острых углов исходного треугольника, то есть 90°. Поэтому площадь равна (a + b)² и одновременно 4 · $\frac{\text{ab}}{\text{2}}$ + c². Отсюда a² + 2ab + b² = 2ab + c², c² = a² + b². Критерии: собственный чертёж, равенство треугольников, квадрат в центре, оба выражения площади и вывод.

   Проверь: Для прямоугольного треугольника c² = a² + b², где c — гипотенуза.

2. Сформулируй и докажи обратную теорему Пифагора. В треугольнике ABC дано AB² = AC² + BC². Построй вспомогательный прямоугольный треугольник и докажи, что угол C прямой.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Строим A₁B₁C₁ с прямым углом C₁ и катетами A₁C₁ = AC, B₁C₁ = BC. Прямая теорема даёт A₁B₁² = AC² + BC² = AB². Длины положительны, значит A₁B₁ = AB. Треугольники равны по трём сторонам, поэтому угол C равен прямому углу C₁. Критерии: формулировка, вспомогательный чертёж, применение прямой теоремы, равенство длин и признак трёх сторон.

   Проверь: Угол C равен 90°.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 11 см, один катет — 7 см. Найди точную длину второго катета и точную площадь. Сделай чертёж и объясни выбор знака корня.

   Разбор и ориентиры для проверки

   b² = 11² − 7² = 72; b = $\sqrt{\text{72}}$ = $6\sqrt{\text{2}}$ см. S = $\frac{\text{7 · 6}\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}$ = $21\sqrt{\text{2}}$ см². Длина положительна. Принимаются равные точные формы, например $\sqrt{\text{72}}$ и $\frac{\text{7}\sqrt{\text{72}}}{\text{2}}$. Критерии: верно отмеченная гипотенуза, разность квадратов, точные ответы, положительный корень и единицы.

   Проверь: Катет $6\sqrt{\text{2}}$ см; площадь $21\sqrt{\text{2}}$ см².

4. Кабель натянут от вершины вертикальной опоры высотой 8 м к точке ровной горизонтальной земли в 6 м от основания. Сделай схему и найди длину кабеля без запаса. Затем определи, хватит ли отрезка 10,4 м, если на крепления сверх прямого участка требуется ещё 0,5 м.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Опора перпендикулярна земле, поэтому кабель — гипотенуза. c² = 8² + 6² = 100; c = 10 м. Потребность с запасом: 10 + 0,5 = 10,5 м; 10,4 < 10,5. Критерии: собственная модель с прямым углом, выбор сторон, расчёт и отдельный учёт креплений. Модель пренебрегает провисанием.

   Проверь: Прямой участок 10 м; с креплениями нужно 10,5 м. Отрезка 10,4 м не хватит: недостаёт 0,1 м.

5. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 15 см, основание — 18 см. Проведи высоту к основанию, найди её и площадь треугольника. Обоснуй, какую часть основания используешь.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Высота из вершины равнобедренного треугольника является также медианой: половина основания 9 см. h² = 15² − 9² = 144, h = 12 см. S = $\frac{\text{18 · 12}}{\text{2}}$ = 108 см². Критерии: чертёж и прямой угол, обоснование половины основания, гипотенуза 15 см, расчёт высоты и площади с единицами.

   Проверь: Высота 12 см; площадь 108 см².

6. Ученик утверждает: «У треугольника со сторонами 7, 8 и 12 см сторона 12 самая длинная, значит это гипотенуза. Угол напротив неё прямой». Найди ошибку, проверь существование треугольника и дай обоснованный вывод о прямом угле.

   Разбор и ориентиры для проверки

   7 + 8 = 15 > 12, остальные неравенства выполняются. Но 7² + 8² = 113, а 12² = 144. Для прямоугольного треугольника обязательно равенство квадратов, здесь его нет. Самая длинная сторона становится гипотенузой только в прямоугольном треугольнике. Критерии: существование, проверка квадратов, правильный вывод и объяснение ошибки; определять острые/тупые углы не требуется.

   Проверь: Треугольник существует, но не является прямоугольным.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке