Векторы: сложение, вычитание и умножение на число

Длина и направление

Ненулевой вектор задаётся длиной и направлением. Параллельный перенос всего направленного отрезка не меняет вектор. У нулевого вектора начало совпадает с концом и нет определённого направления.

Сумму строят по правилу треугольника или параллелограмма. Разность получают прибавлением противоположного вектора. В обозначении $\overrightarrow{\text{AB}}$ первая буква — начало, вторая — конец.

При умножении вектора на число k длина умножается на |k|. Положительный коэффициент сохраняет направление, отрицательный меняет его; при нулевом коэффициенте получается нулевой вектор.

При вычислениях раскрывай скобки и собирай коэффициенты при одном и том же векторе. Два неколлинеарных вектора задают единственное разложение любого вектора плоскости.

Длины коллинеарных векторов складывай или вычитай с учётом направлений. Для произвольных неколлинеарных векторов сумма длин не равна длине суммы.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Начерти два неколлинеарных вектора a и b с общим началом. Построй a + b, a − b и −2a. Объясни каждое построение и проверь направление и длину последнего вектора.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Сумму можно строить также последовательным переносом b к концу a. Для разности прибавь −b; вектор от конца b к концу a ему равен. Критерии: начальные векторы неколлинеарны, стрелки и начало отмечены, построения выполнены переносом без изменения длины и направления, для −2a соблюдены оба условия. Масштаб и выбранные длины произвольны.

   Проверь: Сумма — диагональ параллелограмма из общего начала; разность направлена от конца b к концу a; −2a противоположен a и вдвое длиннее.

2. В треугольнике ABC точки M и N — середины AB и AC. Докажи векторным способом, что MN параллельна BC и равна половине BC. Сделай чертёж и запиши векторное равенство.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\overrightarrow{\text{MN}}$ = $\overrightarrow{\text{MA}}$ + $\overrightarrow{\text{AN}}$ = −$\frac{\text{1}}{\text{2}}$$\overrightarrow{\text{AB}}$ + $\frac{\text{1}}{\text{2}}$$\overrightarrow{\text{AC}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$($\overrightarrow{\text{AC}}$ − $\overrightarrow{\text{AB}}$) = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$$\overrightarrow{\text{BC}}$. Положительный множитель даёт сонаправленность, его модуль — отношение длин. Критерии: использованы обе середины, не перепутаны начала и концы, обоснованы параллельность и длина. Другое корректное векторное доказательство допустимо.

   Проверь: $\overrightarrow{\text{MN}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$$\overrightarrow{\text{BC}}$.

3. Векторы a и b неколлинеарны. Ученик получил 2(a − 3b) − (4a + b) = −2a − 5b. Проверь преобразование, исправь ошибку и объясни, почему коэффициенты можно сравнивать отдельно.

   Разбор и ориентиры для проверки

   2a − 6b − 4a − b = −2a − 7b. Перед второй скобкой минус меняет знаки обоих слагаемых. Для неколлинеарных a и b разложение единственно, поэтому различие коэффициентов означает различие векторов. Критерии: правильно раскрыты скобки, найдена ошибка при b, объяснена роль неколлинеарности.

   Проверь: Правильный результат −2a − 7b.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке