Подобие треугольников: задачи для 8 класса

Коэффициент, признаки и применение подобия

У подобных треугольников соответствующие углы равны, а сходственные (соответствующие) стороны пропорциональны. В учебнике Атанасяна такие стороны называют сходственными: они лежат против равных углов. Запись △UVW ∼ △XYZ задаёт соответствие U↔X, V↔Y, W↔Z. Поворот рисунка не меняет этого порядка; внешнее сходство само по себе не является доказательством.

Сначала задай направление отношения. Для △UVW ∼ △XYZ пусть k = $\frac{\text{UV}}{\text{XY}}$ = $\frac{\text{VW}}{\text{YZ}}$ = $\frac{\text{UW}}{\text{XZ}}$. Это положительное число — коэффициент подобия в выбранном порядке. Обратный порядок треугольников даёт $\frac{\text{1}}{\text{k}}$. Если k = 1, все сходственные стороны равны и треугольники равны.

Первый признак подобия: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны. Третий угол можно найти из суммы 180°. Общий угол, вертикальные углы и углы при параллельных прямых помогают обосновать нужные равенства.

Второй признак подобия: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны. Угол должен лежать между выбранными сторонами. Номер этого признака не совпадает с номером признака равенства по двум сторонам и углу между ними.

Третий признак подобия: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то треугольники подобны. Все три отношения должны быть одинаково направлены. Для сравнения двух наборов длин удобно сопоставить наименьшие, средние и наибольшие стороны; одного или двух равных отношений для этого признака недостаточно.

Периметры подобных треугольников относятся как сходственные стороны, а площади — как квадраты этих отношений: $\frac{{\text{P}}_{\text{UVW}}}{{\text{P}}_{\text{XYZ}}}$ = k, $\frac{{\text{S}}_{\text{UVW}}}{{\text{S}}_{\text{XYZ}}}$ = k². Например, при k = $\frac{\text{4}}{\text{3}}$ отношение площадей равно $\frac{\text{16}}{\text{9}}$. Одно отношение площадей или периметров без других условий не доказывает подобие.

Пример: точки M и N лежат на сторонах PQ и PR, MN ∥ QR. Угол P общий, ∠PMN = ∠PQR как соответственные при параллельных прямых. Поэтому △PMN ∼ △PQR по двум углам, и сходственные стороны пропорциональны: $\frac{\text{PM}}{\text{PQ}}$ = $\frac{\text{PN}}{\text{PR}}$. Следи, чтобы в знаменателях стояли целые стороны большего треугольника, а не их части.

В письменной задаче сделай чертёж, запиши данные и требуемый вывод. Сначала обоснуй подобие и порядок соответствующих вершин; затем составь пропорцию, вычисли искомое и укажи единицу. Равенство углов и отношения длин берут из условия и доказанных свойств, а не из измерения схемы.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Если подобие требуется доказать, обоснуй его перед использованием пропорции; если оно дано, согласуй соответствие. В задании на опровержение построй контрпример. Сделай свой чертёж, запиши данные, искомое и основания каждого шага. Критерии предназначены для самостоятельной проверки с взрослым; автоматическая отметка за доказательство не выставляется.

1. В трапеции ABCD основания AB и CD параллельны. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O, лежащей внутри обеих диагоналей. AO = 4 см, OC = 10 см, BO = 6 см. Докажи подобие △AOB и △COD, затем найди BD. Сделай чертёж и обоснуй равенство нужных углов.

   Разбор и ориентиры для проверки

   ∠AOB = ∠COD как вертикальные. ∠ABO = ∠CDO как накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD. Поэтому △AOB ∼ △COD по двум углам: A↔C, O↔O, B↔D. $\frac{\text{BO}}{\text{DO}}$ = $\frac{\text{AO}}{\text{CO}}$, то есть $\frac{\text{6}}{\text{DO}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{10}}$; DO = 15 см. BD = BO + OD = 6 + 15 = 21 см. Полный ответ содержит основания углов, соответствие, пропорцию и ответ для всей диагонали; число 15 относится только к её части. Допустима и пара накрест лежащих ∠BAO = ∠DCO при секущей AC: её можно сочетать с вертикальными углами либо использовать две пары накрест лежащих без вертикальных.

   Проверь: BD = 21 см. Нужны две обоснованные пары равных углов, подобие △AOB ∼ △COD, пропорция для OD и сумма BO + OD.

2. В треугольниках RPS и LKM: RP = 8 см, RS = 12 см, LK = 10 см, LM = 15 см, ∠PRS = ∠KLM. Докажи подобие. Какой стороне второго треугольника соответствует PS? Запиши отношение этой пары сторон в порядке первый/второй.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{RP}}{\text{LK}}$ = $\frac{\text{8}}{\text{10}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{5}}$, $\frac{\text{RS}}{\text{LM}}$ = $\frac{\text{12}}{\text{15}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{5}}$. Данные углы находятся между этими сторонами, поэтому действует второй признак. Порядок R↔L, P↔K, S↔M даёт △RPS ∼ △LKM и $\frac{\text{PS}}{\text{KM}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{5}}$. Проверяй обе пропорции, положение угла, запись подобия и отношение третьих сторон; пропуск одного из этих звеньев делает обоснование неполным.

   Проверь: △RPS ∼ △LKM по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. PS соответствует KM, $\frac{\text{PS}}{\text{KM}}$ = $\frac{\text{4}}{\text{5}}$.

3. Известно △UVW ∼ △XYZ и $\frac{\text{UV}}{\text{XY}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{5}}$. Площадь △XYZ равна 100 см². Ученик написал: «Площадь △UVW равна 100 · 3 : 5 = 60 см²». Найди ошибку и исправь решение.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Отношение площадей равно $\frac{{\text{S}}_{\text{UVW}}}{{\text{S}}_{\text{XYZ}}}$ = $\frac{\text{9}}{\text{25}}$, поэтому ${\text{S}}_{\text{UVW}}$ = 100 · 9 : 25 = 36 см². Полный ответ называет ошибку, использует квадрат коэффициента и получает площадь с единицей. Исправление только числа без объяснения недостаточно.

   Проверь: Нельзя переносить отношение длин на площади без возведения в квадрат. Правильная площадь — 36 см².

4. В одно и то же время на горизонтальной площадке вертикальный шест высотой 1,5 м даёт тень длиной 2 м, а вертикальное дерево — тень длиной 12 м. Солнечные лучи считаем параллельными. Объясни подобие треугольников и найди высоту дерева. Укажи, почему нужны условия измерения.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Вертикальные объекты с горизонтальной площадкой образуют прямые углы. Параллельные солнечные лучи дают равные вторые углы, поэтому треугольники подобны. $\frac{\text{h}}{\text{1,5}}$ = $\frac{\text{12}}{\text{2}}$, h = 9 м. Одновременность нужна для одного направления лучей; вертикальность и горизонтальность обеспечивают принятую геометрическую модель. Полный ответ содержит доказательство, вычисление и смысл условий; одна пропорция без объяснения — лишь часть решения.

   Проверь: Высота дерева — 9 м. Обоснование: прямые углы, равные углы лучей с площадкой, первый признак и пропорция соответствующих высот и теней.

5. У △ABC стороны AB = 6 см, BC = 9 см, AC = 12 см. У △DEF стороны DE = 8 см, EF = 12 см, DF = 16 см. Докажи подобие в подходящем порядке. Найди отношение площадей первого треугольника ко второму.

   Разбор и ориентиры для проверки

   $\frac{\text{AB}}{\text{DE}}$ = $\frac{\text{6}}{\text{8}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{4}}$, $\frac{\text{BC}}{\text{EF}}$ = $\frac{\text{9}}{\text{12}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{4}}$, $\frac{\text{AC}}{\text{DF}}$ = $\frac{\text{12}}{\text{16}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{4}}$. Все три отношения совпали, значит △ABC ∼ △DEF по третьему признаку. Отношение площадей равно квадрату $\frac{\text{3}}{\text{4}}$, то есть $\frac{\text{9}}{\text{16}}$. Нужны все три отношения, согласованный порядок и переход к площадям; два проверенных отношения ещё не доказывают третий признак.

   Проверь: △ABC ∼ △DEF по трём пропорциональным сторонам; отношение площадей равно $\frac{\text{9}}{\text{16}}$.

6. Ученик утверждает: «Если периметры треугольников равны, то треугольники подобны». Рассмотри треугольники со сторонами 3, 4, 5 см и 2, 5, 5 см. Проверь утверждение и объясни, почему одного периметра недостаточно.

   Разбор и ориентиры для проверки

   3 + 4 + 5 = 12 см и 2 + 5 + 5 = 12 см. Сопоставляя стороны в порядке возрастания, получаем отношения $\frac{\text{3}}{\text{2}}$, $\frac{\text{4}}{\text{5}}$, $\frac{\text{5}}{\text{5}}$; они различны. Значит, треугольники не подобны. Периметр задаёт сумму сторон, а не форму треугольника. Допустим и другой путь: если бы треугольники были подобны, равные периметры дали бы k = 1, значит все соответствующие стороны должны были бы совпасть. Этого нет. Полное решение проверяет оба периметра и обосновывает отсутствие подобия одним из этих способов; одних разных списков чисел без проверки отношений недостаточно.

   Проверь: Оба периметра — 12 см, но соответствующие стороны не пропорциональны. Утверждение опровергнуто.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке