Математика · 6 класс

Задачи на работу с дробями для 6 класса

Производительность, время, объём работы и совместное выполнение. Дробные величины, постоянные темпы и письменная проверка модели.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Модель постоянной производительности

Объём работы равен производительности, умноженной на время. Все величины должны относиться к одному виду работы.

Если всю работу принять за единицу, доля работы за час равна единице, делённой на время выполнения всей работы.

При независимой одновременной работе производительности складываются. Времена выполнения всей работы складывать вместо производительностей нельзя.

Вернуться к тренажёру →

Реши и объясни

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение с пояснениями, единицы величин и проверку. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Одна труба наполняет бак за 5 часов, другая опорожняет полный бак за 20 часов. Обе открыли у пустого бака. Через сколько часов он наполнится при постоянных темпах? Объясни, почему здесь нельзя сложить производительности.
Разбор и ориентиры для проверки
За час прибавляется $\frac{1}{5}$ − $\frac{1}{20}$ = $\frac{3}{20}$ бака, поэтому бак наполнится за 1 : $\frac{3}{20}$ = $\frac{20}{3}$ = $6 \frac{2}{3}$ часа. Вторая труба выливает воду из того же бака, поэтому её производительность вычитают, а не прибавляют. Допустимо решение через условный объём: пусть бак — 20 частей. Первая труба наливает 20 : 5 = 4 части в час, вторая выливает 20 : 20 = 1 часть в час. За час прибавляется 4 − 1 = 3 части, и бак наполнится за 20 : 3 = $6 \frac{2}{3}$ часа. Нужно оговорить постоянство потоков из условия.
Проверь: За $6 \frac{2}{3}$ часа, то есть за 6 ч 40 мин; производительность выливающей трубы вычитается.
Первый мастер выполняет заказ за 9 часов, второй — за 18 часов. Вместе они работали 4 часа, затем второй ушёл. За сколько часов первый закончит оставшуюся работу при постоянных темпах?
Разбор и ориентиры для проверки
Вместе за час мастера выполняют $\frac{1}{9}$ + $\frac{1}{18}$ = $\frac{1}{6}$ заказа, за 4 часа — $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ заказа. Осталась $\frac{1}{3}$ заказа; первый выполнит её за $\frac{1}{3}$ : $\frac{1}{9}$ = 3 часа. Нужен ответ именно о времени после ухода второго мастера.
Проверь: За 3 часа; всего от начала работы пройдёт 7 часов.
Два принтера печатают 20 и 28 страниц в минуту. Первый работает 1,25 минуты, второй — 0,75 минуты. Найди общий выпуск и объясни, почему нельзя умножить сумму производительностей на 1,25.
Разбор и ориентиры для проверки
20 · 1,25 + 28 · 0,75 = 25 + 21 = 46 страниц. Произведение (20 + 28) · 1,25 = 60 приписало бы второму принтеру лишние 0,5 минуты работы.
Проверь: 46 страниц; принтеры работают разное время.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Объём и время

Определи, что неизвестно: объём работы, производительность или время.

Принтер печатает 24 страницы в минуту. Сколько страниц он напечатает за 1,5 минуты при постоянном темпе?
Ответ и объяснение
Ответ: 36
24 · 1,5 = 36 страниц.
Машина укладывает 2,4 м покрытия за минуту. Сколько метров уложит за 2,5 минуты?
Ответ и объяснение
Ответ: 6
2,4 · 2,5 = 6 м.
За 1,5 часа изготовили 45 деталей. Сколько деталей за час делают при постоянной производительности?
Ответ и объяснение
Ответ: 30
45 : 1,5 = 30 деталей в час.
Принтер печатает 18 страниц в минуту. Сколько минут нужно для 63 страниц?
Ответ и объяснение
Ответ: 3,5
63 : 18 = 3,5 минуты.

Потренировать эту тему →

Доля работы

Всю работу принимай за 1. Все доли в условии должны относиться к одной и той же работе.

Мастер выполняет весь заказ за 8 часов при постоянном темпе. Какую долю этого заказа он выполнит за 3 часа? Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{3}{8}$
За час выполняется $\frac{1}{8}$ заказа, за 3 часа — $\frac{3}{8}$ заказа.
Рабочий выполняет весь заказ за 12 часов. Какую долю заказа он выполнит за 5 часов при постоянном темпе? Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{5}{12}$
За час выполнена одна двенадцатая заказа, за 5 часов — пять двенадцатых.
За час выполнена $\frac{3}{10}$ работы. За сколько часов будет выполнена вся работа при постоянном темпе? Ответ запиши обыкновенной дробью. Целую часть можно выделить.
Ответ и объяснение
Ответ: $3 \frac{1}{3}$
Время равно 1 : $\frac{3}{10}$ = $\frac{10}{3}$ = $3 \frac{1}{3}$ часа, то есть 3 ч 20 мин.
Бригада выполнила $\frac{2}{7}$ работы за 4 часа. За сколько часов она выполнит всю работу при том же темпе?
Ответ и объяснение
Ответ: 14
За час бригада выполняет $\frac{2}{7}$ : 4 = $\frac{1}{14}$ работы, поэтому вся работа займёт 14 часов. То же сразу: 4 : $\frac{2}{7}$ = 14.

Потренировать эту тему →

Совместная работа

Определи, что известно о каждом исполнителе и что спрашивают: время или часть работы.

Первый насос наполняет пустой бак за 6 часов, второй — за 3 часа. За сколько часов они наполнят этот бак вместе, если темпы постоянны, насосы не мешают друг другу и вода не утекает?
Ответ и объяснение
Ответ: 2
За час вместе $\frac{1}{6}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{1}{2}$ бака. Время 1 : $\frac{1}{2}$ = 2 часа.
Два независимых насоса заполняют один и тот же бак по отдельности за 8 и 12 часов. За сколько часов они заполнят пустой бак вместе при постоянных темпах? Ответ запиши обыкновенной дробью. Целую часть можно выделить.
Ответ и объяснение
Ответ: $4 \frac{4}{5}$
За час $\frac{1}{8}$ + $\frac{1}{12}$ = $\frac{5}{24}$ бака; время 1 : $\frac{5}{24}$ = $\frac{24}{5}$ = $4 \frac{4}{5}$ часа, то есть 4 ч 48 мин.
Два мастера отдельно выполняют один заказ за 10 и 15 часов. Какую долю заказа они выполнят вместе за 3 часа при независимой работе и постоянных темпах? Ответ запиши обыкновенной дробью.
Ответ и объяснение
Ответ: $\frac{1}{2}$
3 · ( $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{15}$ ) = 3 · $\frac{1}{6}$ = $\frac{1}{2}$ заказа.
Один насос наполняет бак за 10 часов, второй — за 6 часов. Темпы постоянны, работа независима. За сколько часов насосы наполнят бак вместе?
Варианты: 1) $4 \frac{1}{2}$ ч; 2) $3 \frac{3}{4}$ ч; 3) 4 ч
Ответ и объяснение
Ответ: $3 \frac{3}{4}$ ч
Вместе за час насосы наполняют $\frac{1}{10}$ + $\frac{1}{6}$ = $\frac{3}{30}$ + $\frac{5}{30}$ = $\frac{8}{30}$ = $\frac{4}{15}$ бака, поэтому время 1 : $\frac{4}{15}$ = $\frac{15}{4}$ = $3 \frac{3}{4}$ ч, то есть 3 ч 45 мин. Проверка: $\frac{4}{15}$ · $\frac{15}{4}$ = 1, то есть за это время насосы наполнят ровно один бак. 4 ч — половина среднего времени (10 + 6) : 2 = 8 ч; так считать нельзя: насосы работают с разной скоростью.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения: единица названа в условии. Десятичную дробь можно записать через запятую или точку. Если условие просит обыкновенную дробь, заполни числитель и знаменатель; целую часть можно выделить в поле слева. Полное решение запиши в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 6 класса, с. 16; результаты, с. 19. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков и др., «Математика. 6 класс. Базовый уровень», в двух частях, Просвещение; третье переработанное издание, строка 475 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Модель постоянной производительности

Реши и объясни

Задания с ответами и объяснениями

Объём и время

Доля работы

Совместная работа

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме