Математика · 9 класс

Перестановки и сочетания: порядок и выбор

Считай перестановки различимых объектов и выбор групп без повторений. Факториал, роли участников и треугольник Паскаля: тренировка и письменные задачи для 9 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Сначала установи, что различает варианты

Уточни, какие объекты различимы, разрешены ли повторения и используются ли все объекты.

Проверь, считаются ли разные роли или порядок отдельными вариантами. В выборе группы перечисление тех же участников в другом порядке не создаёт новую группу.

Если место или участник закреплены, сначала учти это условие. Считай оставшийся выбор отдельно.

Для выражений с факториалами записывай произведения и сокращай общие множители. Проверяй, что ответ — число вариантов, а не вероятность.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Для множества {А,Б,В} перечисли все перестановки трёх букв и все сочетания по две буквы. Объясни, почему перестановки АБВ и БАВ различаются, а при выборе пары записи АБ и БА обозначают одну и ту же группу.
Разбор и ориентиры для проверки
В перестановке важен порядок всех объектов, в сочетании важен только состав. Критерии: полное перечисление без повторов, оба количества и объяснение различия.
Проверь: Перестановки: АБВ,АВБ,БАВ,БВА,ВАБ,ВБА; сочетания: АБ,АВ,БВ. Всего 6 и 3.
Из одиннадцати участников выбери группу из пяти, а отдельно назначь руководителя и секретаря из этих же одиннадцати человек. Один человек не занимает обе роли. Вычисли число вариантов каждого выбора и объясни, почему модели различаются.
Разбор и ориентиры для проверки
C(11;5)= $\frac{11·10·9·8·7}{5·4·3·2·1}$ =462; роли 11·10=110. Перестановка участников группы не меняет её состав, обмен ролями меняет назначение. Критерии: модели, вычисления и объяснение порядка.
Проверь: Группа:462; назначение ролей:110.
Из восьми различных карточек одну пометили. Случайно выбирают три карточки без повторений; все группы из трёх равновозможны. Найди вероятность того, что помеченная карточка выбрана. Проверь ответ вторым способом.
Разбор и ориентиры для проверки
Всего C(8;3)=56 групп; с помеченной карточкой C(7;2)=21; $\frac{21}{56}$ = $\frac{3}{8}$ . Второй способ: по симметрии каждая карточка имеет одинаковую вероятность попасть в выбор из трёх; суммарно выбранных три из восьми. Критерии: равновозможные исходы, благоприятные группы, сокращённая дробь и независимая проверка.
Проверь: Вероятность $\frac{3}{8}$ .

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Факториал

Вычисли выражение или восстанови натуральное число.

Вычисли $\frac{7!}{5!}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 42
После сокращения 5! остаётся 7·6=42.
Для натурального n известно n! = 120. Найди n. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
1·2·3·4·5=120; следующий факториал больше. Поэтому n=5.
Вычисли $\frac{6!}{3!·3!}$ . Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 20
$\frac{720}{6·6}$ =20.

Потренировать эту тему →

Порядок и роли

Все названные объекты или участники различимы; повторное использование запрещено.

Восемь различных книг ставят в один ряд. Одна определённая книга должна стоять первой. Сколько расположений остальных книг возможно? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5040
Закреплена одна книга; остальные семь можно переставить 7!=5040 способами.
Из девяти учеников выбирают капитана и его заместителя. Один ученик не может занимать обе роли. Сколько разных назначений возможно? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 72
Для капитана 9 вариантов, для заместителя 8;9·8=72.
Семь различных карточек выкладывают в один ряд. Карточка А должна быть первой, а карточка К — последней. Сколько расположений возможно? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 120
Две позиции закреплены. Пять оставшихся карточек переставляются 5!=120 способами.

Потренировать эту тему →

Выбор группы

Порядок перечисления выбранных участников или объектов не учитывается.

Из семи учеников выбирают группу из трёх. Повторный выбор одного ученика запрещён. Сколько различных групп возможно? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 35
Число сочетаний $\frac{7·6·5}{3·2·1}$ =35.
Из восьми разных значков выбирают два. Сколько различных пар возможно, если порядок значков в паре не учитывается? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 28
$\frac{8·7}{2}$ =28; деление на 2 убирает два порядка одной пары.
Из десяти учеников выбирают группу из четырёх. Определённый ученик должен войти в группу. Сколько различных групп возможно? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 84
Выбираем ещё троих из девяти: $\frac{9·8·7}{3·2·1}$ =84.
Двенадцать команд играют каждая с каждой один раз. Каждая пара команд встречается ровно один раз. Сколько всего матчей запланировано? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 66
Каждому матчу соответствует неупорядоченная пара команд; $\frac{12·11}{2}$ =66.

Потренировать эту тему →

Числа Паскаля

Используй число сочетаний C(n;k); n — размер множества, k — число выбранных элементов.

Найди C(6;2). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
$\frac{6·5}{2}$ =15.
Найди C(9;4) + C(9;5). Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 252
Каждое слагаемое равно 126; сумма 252. По свойству Паскаля сумма равна C(10;5).

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 9 класс: содержание с.93; результаты с.94–95; тематическое планирование с.105–106; методические рекомендации Высоцкого и Ященко, с.33–34, §48–50. Дата сверки — 4 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: И. Р. Высоцкий, И. В. Ященко, под редакцией И. В. Ященко, «Математика. Вероятность и статистика. 7–9 классы», базовый уровень, часть 2, Просвещение,2026; номер ФПУ 1.1.2.7.3.1. Последовательность тем сверена с бесплатными методическими рекомендациями издателя, с.33–34, §48–50. Целевые параграфы учебника не прочитаны. Задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 4 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Сначала установи, что различает варианты

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Факториал

Порядок и роли

Выбор группы

Числа Паскаля

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме