Геометрическая прогрессия: член и сумма

Как различать отношение и разность

У геометрической прогрессии отношение следующего члена к предыдущему постоянно. При отрицательном знаменателе знаки чередуются. Все члены в этой теме ненулевые.

Индекс первого члена равен 1: до n-го члена нужно n−1 умножений на знаменатель. Между двумя известными членами учитывай разность их индексов.

Из равенства с чётной степенью знаменателя могут получиться два знака q. Проверяй оба, если условие не ограничивает знак.

Суммируется конечное названное число членов. Если q=1, все члены одинаковы; формулу с делением на q−1 применять нельзя. Для проверки небольшой суммы можно сложить члены напрямую.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. В геометрической прогрессии b₂ = 6, b₄ = 54. Найди все возможные q и b₁, затем сумму первых четырёх членов для каждого случая. Проверь исходные члены.

   Разбор и ориентиры для проверки

   q² = $\frac{\text{54}}{\text{6}}$ = 9, поэтому q = 3 или −3. При q = 3 члены 2,6,18,54; при q = −3 члены −2,6,−18,54. Оба случая дают заданные второй и четвёртый члены. Критерии: рассмотрены оба знака, найден первый член через деление на q, две суммы, обе исходные проверки. Отрицательный q не отбрасывается без условия.

   Проверь: q = 3, b₁ = 2, S₄ = 80; либо q = −3, b₁ = −2, S₄ = 40.

2. Выведи формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии для q ≠ 1, сравнив Sₙ и qSₙ. Отдельно объясни q = 1. Проверь формулу при b₁ = 4, q = −2, n = 5.

   Разбор и ориентиры для проверки

   После умножения суммы на q средние члены сокращаются при вычитании: Sₙ−qSₙ = b₁−b₁qⁿ. Деление на 1−q даёт формулу. При q = 1 делить нельзя, но все члены равны b₁. Для примера $\frac{\text{4(1−(−2)⁵)}}{\text{3}}$ = 44; прямое сложение 4−8+16−32+64 = 44. Критерии: объяснено сокращение, указано ограничение q≠1, отдельный случай, знак степени и прямая проверка.

   Проверь: Sₙ = $\frac{\text{b₁(1−qⁿ)}}{\text{1−q}}$ при q ≠ 1; Sₙ = nb₁ при q = 1; в примере S₅ = 44.

3. Первый квадрат имеет сторону 12 см. Сторона каждого следующего составляет треть стороны предыдущего. Найди площади первых трёх квадратов и их сумму. Объясни, почему знаменатели прогрессии сторон и площадей различны.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Стороны 12,4,$\frac{\text{4}}{\text{3}}$ см, площади 144,16,$\frac{\text{16}}{\text{9}}$ см². Их знаменатель ($\frac{\text{1}}{\text{3}}$)² = $\frac{\text{1}}{\text{9}}$. Сумма $\frac{\text{1296+144+16}}{\text{9}}$ = $\frac{\text{1456}}{\text{9}}$. Критерии: возведён в квадрат коэффициент изменения стороны, точные дробные площади и сумма, единицы и объяснение различия двух прогрессий; десятичная запись без точности не заменяет точную дробь.

   Проверь: Площади 144, 16 и $\frac{\text{16}}{\text{9}}$ см²; сумма $\frac{\text{1456}}{\text{9}}$ см².

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке