Математика · 8 класс

График обратной пропорциональности, 8 класс

Гипербола, коэффициент обратной пропорциональности, допустимые аргументы и чтение графика. Отдельное построение и проверка зависимости.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Обратная пропорциональность

При y = $\frac{k}{x}$ , где k ≠ 0, аргумент x не равен нулю. Произведение x · y постоянно и равно k.

При положительном k ветви гиперболы в первой и третьей четвертях; при отрицательном — во второй и четвёртой. Оси график не пересекает.

При построении каждой ветви берут несколько точек. Нельзя соединять две ветви через начало координат или продолжать график через x = 0.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Построй y = $\frac{8}{x}$ , отметив не менее трёх точек каждой ветви. Объясни, почему график не проходит через начало координат.
Разбор и ориентиры для проверки
Подходящие точки (1; 8), (2; 4), (4; 2) и противоположные им. Допускаются другие точные точки и масштабы. Между ветвями линии нет; ветви приближаются к осям, но не пересекают их.
Проверь: Две отдельные плавные ветви в I и III четвертях; x ≠ 0, поэтому начало координат графику не принадлежит.
Найди точки пересечения y = $\frac{25}{x}$ и y = x. Укажи допустимые значения x и проверь обе точки.
Разбор и ориентиры для проверки
$\frac{25}{x}$ = x даёт x² = 25 при x ≠ 0; оба значения, 5 и −5, допустимы. Проверка: 25 : 5 = 5 и 25 : (−5) = −5. На чертеже — обе ветви и прямая.
Проверь: (−5; −5) и (5; 5); x ≠ 0.
Построй y = $\frac{−12}{x}$ по трём точкам каждой ветви. Объясни, почему при увеличении положительного x значение y здесь увеличивается.
Разбор и ориентиры для проверки
При x > 0 значения отрицательны и приближаются к нулю: −4 < −3 < −2. Не переносить вывод об уменьшении y при положительном k на отрицательный k.
Проверь: Ветви во II и IV четвертях; например, (3; −4), (4; −3), (6; −2) и противоположные им точки.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вычисление значений

Подставь данное значение в формулу и выполни деление.

Для y= $\frac{12}{x}$ найди y при x=−3.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
12:(−3)=−4.
Для y = $\frac{−9}{x}$ найди y при x = 1,2.
Ответ и объяснение
Ответ: −7,5
−9 : 1,2 = −7,5.
Для y = $\frac{6}{x}$ найди x при y = −2.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
x = 6 : (−2) = −3.
Для y = $\frac{5}{x}$ найди y при x = −0,25.
Варианты: 1) −1,25; 2) −20; 3) −0,05
Ответ и объяснение
Ответ: −20
y = 5 : (−0,25) = −20. При делении на число, меньшее единицы по модулю, модуль результата увеличивается; −1,25 — это произведение, а не частное.

Потренировать эту тему →

Коэффициент

Восстанови постоянное произведение.

График y = $\frac{k}{x}$ проходит через точку (−2; 5). Найди k.
Ответ и объяснение
Ответ: −10
k = x · y = −2 · 5 = −10.
График y = $\frac{k}{x}$ проходит через точку (0,6; 25). Найди k.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
k = 0,6 · 25 = 15.
Обратная пропорциональность y = $\frac{k}{x}$ при x = 3 принимает значение 8. Найди y при x = 6.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Произведение 24 сохраняется; 24 : 6 = 4.
Какая пара точек может лежать на одном графике y = $\frac{k}{x}$ , k ≠ 0?
Варианты: 1) (2; 6) и (3; 4); 2) (2; 6) и (3; 5); 3) (2; 6) и (3; 9)
Ответ и объяснение
Ответ: (2; 6) и (3; 4)
В первой паре 2 · 6 = 3 · 4 = 12. Во второй одинакова сумма координат, а не произведение: 3 · 5 = 15. В третьей y растёт вместе с x, как при прямой пропорциональности: 3 · 9 = 27.

Потренировать эту тему →

Расположение ветвей

Используй знак k.

График y = $\frac{k}{x}$ проходит через точку (−2,5; 2). В каких координатных четвертях расположены его ветви?
Варианты: 1) I и III; 2) II и IV; 3) I и II
Ответ и объяснение
Ответ: II и IV
k = x · y = −2,5 · 2 = −5 < 0, поэтому ветви во II и IV четвертях: данная точка лежит во II четверти, вторая ветвь — в IV.
При k > 0 и x > 0 аргумент увеличили в 3 раза. Как изменилось y = $\frac{k}{x}$ ?
Варианты: 1) Увеличилось в 3 раза; 2) Уменьшилось в 3 раза; 3) Не изменилось
Ответ и объяснение
Ответ: Уменьшилось в 3 раза
Постоянное число делится на втрое больший знаменатель.
Сколько общих точек у графика y = $\frac{7}{x}$ и прямой y = −0,5?
Варианты: 1) Ни одной; 2) Две; 3) Одну
Ответ и объяснение
Ответ: Одну
$\frac{7}{x}$ = −0,5 при x = 7 : (−0,5) = −14. Прямая y = −0,5 пересекает только ветвь в III четверти, и только в одной точке (−14; −0,5).

Потренировать эту тему →

Чтение двух ветвей

Прочитай координаты одной точки; не соединяй ветви.

По графику найди y при x = −2.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
Левая ветвь при x = −2 имеет y = −2; постоянное произведение 4.
График имеет вид y = $\frac{k}{x}$ . По сетке найди k.
Ответ и объяснение
Ответ: −6
Например, на графике есть точка (2; −3); произведение −6.
По графику найди x при y = 3.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
Левая ветвь на высоте 3 имеет x = −2; проверка (−2) · 3 = −6.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число. Десятичную часть отдели запятой или точкой. Значение, прочитанное по графику, проверь по формуле. Построения и полное решение проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 43; результаты, с. 47. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 8 класс. Базовый уровень», Просвещение; шестнадцатое переработанное издание, строка 477 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. В тематическом планировании пособия «Математика. Алгебра. Методические рекомендации. 7–9 классы (к учебнику Макарычева Ю. Н. и др.)» (Просвещение, 2023) пункт 45 о свойствах обратной пропорциональности и функции квадратного корня стоит в 8 классе. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Обратная пропорциональность

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Вычисление значений

Коэффициент

Расположение ветвей

Чтение двух ветвей

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме