Дерево случайного опыта: от исходов к вероятностям, 8 класс

Четыре ступени работы с деревом

Для первого знакомства проходи группы по порядку: 1 — дерево исходов; 2 — сложение; 3 — условие и независимость; 4 — расчёт по путям. Смешанные наборы подходят для повторения после этих ступеней. Предпосылки: доли, действия с дробями, события, объединение и пересечение множеств.

1. Дерево описывает шаги опыта. Из начальной точки идут ветви первого шага, затем — возможные продолжения. Полный путь от начала до конечной вершины (листа) задаёт один исход. Подписи должны объяснять, что произошло на каждом шаге. Если опыт может закончиться раньше, длины путей бывают разными.

Из каждой достигнутой вершины показывают все возможные взаимоисключающие продолжения. Сумма вероятностей исходящих ветвей равна 1. Если на первом шаге есть m вариантов и после каждого — n продолжений, то полных путей m · n. При разном числе продолжений их нужно считать отдельно.

2. События несовместны, если не могут произойти вместе в одном опыте. Вероятности несовместных событий складываются. Для любых двух событий P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B): общую часть иначе учли бы дважды. Вероятность противоположного события равна 1 − P(A).

Различные полные пути одного дерева несовместны: один запуск опыта заканчивается только одним исходом. Чтобы найти вероятность события, сложи вероятности всех подходящих полных путей. Но сначала нужно вычислить вероятность каждого пути: листья не обязаны быть равновозможными.

3. Условная вероятность учитывает уже известный факт. P(B | A) — вероятность B при условии, что A произошло. При равновозможных исходах оставь только те, которые соответствуют условию A, и найди долю подходящих B среди них. Условная вероятность отличается от вероятности совместного наступления A и B: в общем случае P(B | A) = P(A ∩ B) : P(A), если P(A) > 0.

При извлечении без возвращения число оставшихся предметов меняется. Например, было 5 зелёных и 3 белых жетона. После извлечения зелёного остаются 4 зелёных из 7. Если его вернули и всё перемешали, снова 5 зелёных из 8. Условие опыта определяет знаменатель и числитель на следующем шаге.

События независимы, если наступление одного не меняет вероятность другого. Независимость нужно обосновать устройством опыта или данными, а не словом «случайный». Несовместность и независимость — разные свойства: несовместные события ненулевой вероятности зависимы.

4. Вдоль одного пути вероятности ветвей умножают. P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A), если P(A) > 0. Например, вероятность первой ветви $\frac{\text{1}}{\text{4}}$, а следующей при этом условии $\frac{\text{2}}{\text{5}}$; вероятность всего пути $\frac{\text{1}}{\text{4}}$ · $\frac{\text{2}}{\text{5}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{10}}$. Для независимых событий P(B | A) = P(B).

На втором шаге подпись ветви относится к той вершине, из которой она выходит. После разных первых исходов вероятности продолжений могут различаться. Проверяй: сумма ветвей из каждой вершины — 1; сумма вероятностей всех полных путей — 1; ответ лежит между 0 и 1.

Вернуться к тренажёру →

Построй полное дерево и объясни вычисления

Самостоятельно обозначь исходы, подпиши вероятности ветвей и выбери нужные пути. Проверь суммы и объясни условия применимости правил.

1. В мешке 4 красных и 3 синих одинаковых на ощупь жетона. Случайно выбирают два подряд без возвращения. Построй полное дерево цветов и найди вероятность разных цветов. Проверь, что сумма вероятностей всех четырёх полных путей равна 1.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Первый шаг: $\frac{\text{4}}{\text{7}}$, $\frac{\text{3}}{\text{7}}$. После красного остаются 3 красных и 3 синих из 6, после синего — 4 красных и 2 синих из 6. Произведения дают указанные вероятности; сумма $\frac{\text{7}}{\text{7}}$ = 1. Принимается дерево с иным расположением ветвей, если подписи и условия верны. Проверяются оба порядка разных цветов.

   Проверь: КК: $\frac{\text{2}}{\text{7}}$; КС: $\frac{\text{2}}{\text{7}}$; СК: $\frac{\text{2}}{\text{7}}$; СС: $\frac{\text{1}}{\text{7}}$. Разные цвета: $\frac{\text{4}}{\text{7}}$.

2. Симметричную монету независимо бросают до первого орла, но не более четырёх раз. Построй дерево, перечисли все полные исходы и их вероятности. Найди вероятность того, что монету бросят ровно четыре раза. Равновозможны ли полные исходы этого опыта? Объясни.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Опыт прекращается после орла или после четвёртого броска. Поэтому у дерева пути разной длины. Для четырёх бросков сначала должны выпасть три решки; затем возможны оба результата. Проверяются пять исходов без несуществующих продолжений после орла, произведения, сумма вероятностей 1 и обоснованный ответ о равновозможности: равны между собой только РРРО и РРРР.

   Проверь: О: $\frac{\text{1}}{\text{2}}$; РО: $\frac{\text{1}}{\text{4}}$; РРО: $\frac{\text{1}}{\text{8}}$; РРРО: $\frac{\text{1}}{\text{16}}$; РРРР: $\frac{\text{1}}{\text{16}}$. Ровно четыре броска: $\frac{\text{1}}{\text{8}}$. Полные исходы не равновозможны: у путей разной длины разные вероятности.

3. При одном броске правильной кости A — чётный результат, B — результат больше 2. Выпиши исходы A, B, их объединения и пересечения. Найди P(A ∪ B), P(A ∩ B) и P(A | B). Объясни, независимы ли A и B.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Для объединения и пересечения рассматриваются все 6 равновозможных исходов. При условии B остаются 4 исхода, из них A подходят 2: P(A | B) = $\frac{\text{2}}{\text{4}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Это равно P(A) = $\frac{\text{3}}{\text{6}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$, поэтому события независимы, хотя относятся к одному броску; проверка: $\frac{\text{1}}{\text{3}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ · $\frac{\text{2}}{\text{3}}$. Проверяются разные знаменатели и объяснение, а не только дроби.

   Проверь: A = {2, 4, 6}, B = {3, 4, 5, 6}; объединение {2, 3, 4, 5, 6}, пересечение {4, 6}. P(A ∪ B) = $\frac{\text{5}}{\text{6}}$, P(A ∩ B) = $\frac{\text{1}}{\text{3}}$, P(A | B) = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$. События независимы.

4. Случайно выбирают коробку: первую с вероятностью $\frac{\text{1}}{\text{3}}$, вторую — с вероятностью $\frac{\text{2}}{\text{3}}$. В первой поровну белых и чёрных жетонов; во второй белые составляют $\frac{\text{3}}{\text{4}}$. Из выбранной коробки случайно берут один жетон. Построй дерево и найди вероятность белого жетона. Объясни, почему нельзя взять простое среднее долей белых в коробках.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Полные пути: первая коробка и белый жетон — $\frac{\text{1}}{\text{6}}$, первая и чёрный — $\frac{\text{1}}{\text{6}}$, вторая и белый — $\frac{\text{1}}{\text{2}}$, вторая и чёрный — $\frac{\text{1}}{\text{6}}$. Коробки выбирают с разными вероятностями, поэтому доли нельзя усреднить с равными весами. Проверяются все ветви, два подходящих пути, сумма 1 и этот довод.

   Проверь: Вероятность белого: $\frac{\text{1}}{\text{3}}$ · $\frac{\text{1}}{\text{2}}$ + $\frac{\text{2}}{\text{3}}$ · $\frac{\text{3}}{\text{4}}$ = $\frac{\text{2}}{\text{3}}$.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке