Математика · 9 класс

Нелинейные системы: найти все пары и проверить

Решай системы с линейным уравнением и уравнением второй степени. Находи все пары, проверяй число решений и составляй систему по задаче. Краткие ответы и письменные решения для 9 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Контроль решения системы

Пара чисел является решением системы, если выполняются оба исходных уравнения. Одного верного равенства недостаточно.

Выбери переменную, которую удобно выразить из линейного уравнения. После подстановки реши полученное уравнение, затем для каждого корня восстанови вторую координату.

Не ограничивайся одной парой, если получилось несколько корней. Подставь каждую найденную пару в исходную систему и отдельно проверь дополнительное условие вопроса.

При графическом решении ищут общие точки двух графиков. Их координаты проверяют алгебраически; близкие точки на неточном эскизе могут сливаться.

В текстовой задаче укажи смысл переменных и допустимые значения. После решения системы ответ должен соответствовать вопросу задачи, а не просто перечислять корни уравнения.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Реши систему y = x² − 8 и y = 2x. Найди все пары, проверь обе подстановкой и покажи пересечения на эскизе двух графиков.
Разбор и ориентиры для проверки
x² − 8 = 2x; x² − 2x − 8 = 0; x = −2 или 4. Для них y = −4 или 8. Проверка: 4 − 8 = −4 = 2 · (−2), 16 − 8 = 8 = 2 · 4. Критерии: обе пары в порядке x, y, восстановлена вторая координата каждого корня, проверены оба уравнения, эскиз прямой и параболы показывает две общие точки.
Проверь: (−2; −4), (4; 8).
Прямоугольный участок имеет площадь 96 м²; одна сторона на 4 м длиннее другой. Составь систему, найди обе стороны и периметр. Объясни отбор корней.
Разбор и ориентиры для проверки
Пусть меньшая сторона y > 0, большая x = y + 4. xy = 96; y² + 4y − 96 = 0; корни 8 и −12. Отрицательный корень не является длиной. x = 12; периметр 2(8 + 12) = 40 м. Критерии: указаны переменные, два исходных отношения, допустимый корень и смысловой отбор, обе стороны и периметр с единицами.
Проверь: Стороны 8 и 12 м, периметр 40 м.
Ученик решил x² + y² = 50, y = x и записал только (5; 5). Проверь решение, найди все пары и объясни, почему проверка одной пары не доказывает полноту.
Разбор и ориентиры для проверки
После подстановки 2x² = 50, x² = 25, значит x = ±5. Из y = x получаем обе пары. Каждая даёт 25 + 25 = 50. Проверка подтверждает пригодность найденного решения, но не исключает остальных; полноту даёт решение уравнения с обоими знаками. Критерии: две пары, обе проверки, объяснение потери отрицательного корня.
Проверь: (5; 5) и (−5; −5).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Подстановка и выбор пары

Запиши все решения, затем найди запрошенную координату.

Реши систему ${\begin{cases} y = x² − 4 \\ y = 2x − 1 \end{cases}$ . Найди большую из абсцисс решений. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
x² − 4 = 2x − 1; (x − 3)⁠(x + 1) = 0. Пары (3; 5), (−1; −3); большая абсцисса 3.
Реши систему ${\begin{cases} y = x² \\ x + y = 12 \end{cases}$ . Найди y в решении, где x < 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 16
x² + x − 12 = 0; x = 3 или −4. При x < 0 получаем x = −4, y = 16; проверка −4 + 16 = 12.
Реши систему ${\begin{cases} x² + y² = 25 \\ x − y = 1 \end{cases}$ . Найди большую из ординат решений. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
x = y + 1; 2y² + 2y − 24 = 0. y = 3 или −4; пары (4; 3), (−3; −4). Большая ордината 3.
Реши систему ${\begin{cases} y = x² + 2 \\ x + y = 8 \end{cases}$ . Найди y в решении, где x < 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 11
x² + x − 6 = 0; x = 2 или −3. Отрицательной абсциссе соответствует y = 11. Проверка −3 + 11 = 8.

Потренировать эту тему →

Сколько решений

Считай различные пары, а не количество записей одного корня.

Сколько различных действительных решений у системы ${\begin{cases} y = x² + 4 \\ y = 2x + 3 \end{cases}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
x² − 2x + 1 = 0, то есть (x − 1)² = 0. Единственная пара (1; 5).
Сколько различных действительных решений у системы ${\begin{cases} y = x² + 3 \\ y = 2x − 2 \end{cases}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
x² − 2x + 5 = 0, D = 4 − 20 = −16. Действительных корней и пар нет.
Сколько различных действительных решений у системы ${\begin{cases} y = x² − 6 \\ y = 5x \end{cases}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
x² − 5x − 6 = 0 даёт x = 6 или −1. Пары (6; 30) и (−1; −5) различны.
Сколько различных действительных решений у системы ${\begin{cases} x² + y² = 9 \\ y = 0 \end{cases}$ ? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
При y = 0 получаем x² = 9; пары (−3; 0) и (3; 0).

Потренировать эту тему →

Сумма и произведение

Не путай перестановку координат с тем же самым решением.

Реши систему ${\begin{cases} x + y = 11 \\ xy = 28 \end{cases}$ . Найди x в решении, где x > y. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
y = 11 − x; x² − 11x + 28 = 0. Пары (7; 4), (4; 7); условию подходит x = 7.
Реши систему ${\begin{cases} x − y = 5 \\ xy = 14 \end{cases}$ . Найди x в решении, где x > 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
y = x − 5; x² − 5x − 14 = 0. x = 7 или −2; пары (7; 2), (−2; −7). Положительная абсцисса 7.
Реши систему ${\begin{cases} x + y = −7 \\ xy = 10 \end{cases}$ . Найди большую из абсцисс решений. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −2
x² + 7x + 10 = 0; x = −5 или −2. Пары (−5; −2) и (−2; −5); большее x равно −2.
Реши систему ${\begin{cases} x + y = 4 \\ x² + y² = 10 \end{cases}$ . Найди меньшую из ординат решений. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
y = 4 − x; 2x² − 8x + 6 = 0, x = 1 или 3. Пары (1; 3), (3; 1); меньшая ордината 1.

Потренировать эту тему →

От системы к ответу

Проверь математические и смысловые ограничения.

Реши систему ${\begin{cases} x² + y² = 65 \\ y = x + 3 \end{cases}$ . Найди x в решении, где x > 0. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
2x² + 6x − 56 = 0; x² + 3x − 28 = 0. x = 4 или −7; пары (4; 7), (−7; −4). Подходит x = 4.
Площадь прямоугольника 24 см², периметр 22 см. Составь и реши систему для сторон. Найди большую сторону в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Для положительных сторон x + y = 11, xy = 24. Получаем стороны 3 и 8 см; большая 8 см.
Площадь прямоугольника 60 см². Длина на 7 см больше ширины. Составь систему и найди ширину в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 5
Пусть ширина y > 0, длина x = y + 7. y² + 7y − 60 = 0; y = 5 или −12. Длина не может быть отрицательной, ширина 5 см, длина 12 см.
Площадь прямоугольника 84 см², периметр 38 см. Составь систему и найди меньшую сторону в сантиметрах. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
x + y = 19, xy = 84. Корни t² − 19t + 84 = 0: 7 и 12. Меньшая сторона 7 см.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В коротком поле нужен один ответ на числовой вопрос: координата указанного решения или число различных пар. Если решению задано дополнительное условие, отбирай его после решения системы. Полный набор пар записывается и проверяется в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 9 класс: содержание с. 44; результаты с. 47–48; тематическое планирование с. 64; планирование Макарычева с. 48–49, пп. 19–22. Дата сверки — 4 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков и др., под редакцией С. А. Теляковского, «Математика. Алгебра. 9 класс», базовый уровень, Просвещение, 2026; номер ФПУ 1.1.2.7.1.5. Целевые параграфы в законном фрагменте не прочитаны. Содержание и границы класса сверены с ФРП; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 4 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Контроль решения системы

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Подстановка и выбор пары

Сколько решений

Сумма и произведение

От системы к ответу

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме