Параллелограмм, прямоугольник, ромб и квадрат: 8 класс

Какие свойства можно применять

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его противоположные стороны и углы равны; сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Например, если один угол 74°, соседний равен 106°, а противоположный — 74°.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Это равенство двух частей каждой диагонали, а не равенство самих диагоналей. Периметр равен удвоенной сумме соседних сторон.

Прямоугольник — параллелограмм с прямыми углами. Его диагонали равны и делятся пополам. Если диагональ прямоугольника равна 18,6 см, каждая её половина равна 9,3 см. Диагональ делит прямой угол на два угла, сумма которых равна 90°; они не обязательно равны.

Ромб — параллелограмм, все стороны которого равны. Его диагонали взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Например, диагональ из вершины угла 104° образует с каждой стороной этого угла угол 52°. У произвольного ромба диагонали не обязательно равны.

Квадрат — прямоугольник, все стороны которого равны. Поэтому он одновременно прямоугольник и ромб: к нему применимы свойства обоих. Обратное неверно: не каждый прямоугольник и не каждый ромб является квадратом.

Свойство следует из известного вида фигуры. Признак, наоборот, позволяет установить вид по данным. Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, это параллелограмм. Параллелограмм с равными диагоналями — прямоугольник; с перпендикулярными диагоналями — ромб. Равенства диагоналей без условия о параллелограмме недостаточно для вывода о прямоугольнике.

Сначала назови фигуру и доступное свойство, затем составь равенство. Буквы вершин обходят границу последовательно. Размеры и углы бери из условия, а не измеряй схему. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного подходящего контрпримера; пример должен удовлетворять всем исходным данным.

Вернуться к тренажёру →

Обоснуй вид четырёхугольника

Запиши цепочку выводов, ссылаясь на свойства и признаки. Контрпример начерти сам. По одному рисунку без обоснования вид фигуры не установлен.

1. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в O. AO = OC = 5,4 см, BO = OD = 7,1 см. Докажи, что ABCD — параллелограмм. Может ли он быть прямоугольником? Обоснуй ответ.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Обе диагонали точкой пересечения делятся пополам — признак параллелограмма. AC = 10,8 см, BD = 14,2 см: диагонали не равны, тогда как у прямоугольника они равны. Поэтому прямоугольником (и квадратом) эта фигура быть не может. Полный ответ применяет признак, вычисляет обе диагонали и объясняет противоречие свойству прямоугольника. Утверждать, что это обязательно ромб, по этим данным нельзя.

   Проверь: Это параллелограмм, но не прямоугольник.

2. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Ученик назвал ABCD квадратом. Докажи с помощью равенства треугольников, что все углы ABCD прямые. Приведи конкретный контрпример к выводу ученика. Какое условие на соседние стороны сделает вывод о квадрате верным?

   Разбор и ориентиры для проверки

   Диагонали делятся точкой пересечения пополам, поэтому ABCD — параллелограмм и AB = DC. Треугольники ABD и DCA равны по трём сторонам: AB = DC, AD — общая сторона, BD = CA по условию. Значит, ∠BAD = ∠CDA. Это углы, прилежащие к стороне AD параллелограмма, их сумма равна 180°, поэтому каждый из них прямой. Противоположные углы параллелограмма равны, значит, прямые все четыре угла и ABCD — прямоугольник. У прямоугольника 2 см на 5 см все исходные условия выполнены, но соседние стороны не равны, поэтому это не квадрат; допустимы любые разные положительные длины. Если соседние стороны равны, равны все четыре стороны и прямоугольник становится квадратом. Полный ответ называет признак параллелограмма и равные элементы треугольников, выводит прямые углы, проверяет контрпример и называет достаточное условие. Ссылка на готовый признак прямоугольника вместо доказательства неполна.

   Проверь: Все углы прямые, ABCD — прямоугольник. Контрпример — прямоугольник 2 см на 5 см. Достаточно равенства соседних сторон.

3. Периметр параллелограмма ABCD равен 48 см, AB = 12 см и ∠A = 90°. Докажи, что этот параллелограмм — квадрат.

   Разбор и ориентиры для проверки

   AB + BC = 48 : 2 = 24 см, поэтому BC = 24 − 12 = 12 см. Противоположные стороны параллелограмма равны, значит, все стороны равны. Один угол прямой; соседние с ним в сумме дают 180°, а противоположный ему равен, поэтому все четыре угла прямые. Это прямоугольник с равными сторонами, то есть квадрат. Полное доказательство использует и периметр, и прямой угол; одного из этих условий недостаточно.

   Проверь: BC = 12 см; параллелограмм является и прямоугольником, и ромбом, следовательно, квадратом.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке