Разброс данных и диаграмма рассеивания, 8 класс

Как измерять разброс и читать пары данных

Сначала найди среднее арифметическое: сумму всех значений раздели на их количество. Повторяющиеся значения — отдельные наблюдения, их нельзя выбрасывать. Среднее описывает центр, но два набора с одним средним могут иметь разный разброс.

Отклонение значения от среднего — значение минус среднее. Оно может быть отрицательным, нулевым или положительным. Сумма отклонений от среднего равна нулю: отрицательные и положительные части компенсируются. Поэтому среднее самих отклонений не измеряет разброс.

Дисперсия набора — среднее квадратов отклонений от его среднего. Порядок: найди среднее → вычти его из каждого значения → возведи каждое отклонение в квадрат → сложи квадраты → раздели на число всех наблюдений. Например, у набора 4, 4, 10, 10 среднее 7, квадраты отклонений 9, 9, 9, 9; дисперсия $\frac{\text{36}}{\text{4}}$ = 9.

В этих заданиях описывается весь данный числовой набор. Дисперсию делят на число наблюдений n, а не на n − 1. Другая формула используется для особой статистической оценки и здесь не применяется. Дисперсия неотрицательна; она равна нулю тогда и только тогда, когда все значения одинаковы.

Стандартное отклонение — арифметический квадратный корень из дисперсии. Например, если дисперсия 16, стандартное отклонение 4. Если исходные длины даны в сантиметрах, дисперсия измеряется в см², стандартное отклонение — в см. Это не максимальное отклонение отдельного наблюдения.

При добавлении одного и того же числа ко всем значениям среднее сдвигается на него, а отклонения и разброс не меняются. При умножении всех значений на k каждое отклонение тоже умножается на k: дисперсия умножается на k², стандартное отклонение — на модуль k.

Диаграмма рассеивания показывает пары измерений. Каждая точка — один объект или одно наблюдение: первая величина по горизонтали, вторая по вертикали. Нужны названия величин, единицы и читаемые шкалы. Точки не соединяют в ломаную, если порядок наблюдений не имеет такого смысла.

Облако точек, поднимающееся слева направо, указывает на положительную связь в этих данных; опускающееся — на отрицательную. Это общее направление: не каждая пара точек обязана подчиняться ему. Если ясного направления нет, это ещё не доказывает отсутствие любой связи.

Наблюдаемая связь не доказывает, что одна величина вызывает другую. Могут влиять другие обстоятельства. Диаграмма не даёт точного прогноза для каждого нового объекта, а необычную точку нельзя удалять только за то, что она не укладывается в ожидание: сначала проверь запись и условия наблюдения.

Вернуться к тренажёру →

Рассчитай разброс и построй диаграмму

Покажи промежуточные значения, подпиши оси и отделяй наблюдение от объяснения причин. Калькулятор можно использовать после составления расчёта.

1. Длины четырёх учебных образцов: 1, 3, 5, 7 см. Составь таблицу «значение — отклонение от среднего — квадрат отклонения». Найди среднее, дисперсию и стандартное отклонение с единицами; дисперсию считай для всего набора, деля на число наблюдений. Стандартное отклонение оставь точным, с корнем.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Сумма квадратов 20, делитель 4. Проверяются все четыре строки, знаки отклонений, квадрат отрицательного числа, деление на число наблюдений и разные единицы двух характеристик. Точное положительное значение с корнем предпочтительно; при дополнительном приближении нужно явно указать округление.

   Проверь: Среднее 4 см. Отклонения −3, −1, 1, 3 см; квадраты 9, 1, 1, 9 см². Дисперсия 5 см²; стандартное отклонение $\sqrt{\text{5}}$ см.

2. Сравни наборы A: 0, 2, 2, 4 и B: 0, 0, 4, 4. Вычисли средние, размахи и дисперсии; дисперсию каждого набора считай, деля на число наблюдений. Объясни, почему совпадение среднего и размаха не означает одинаковой дисперсии.

   Разбор и ориентиры для проверки

   В A квадраты отклонений 4, 0, 0, 4 дают 8 : 4 = 2; в B четыре квадрата 4 дают 16 : 4 = 4. Размах учитывает только крайние значения, а дисперсия — все значения и их количество. Нужно сохранить оба нуля и обе четвёрки в B.

   Проверь: У обоих среднее 2 и размах 4. Дисперсия A равна 2, дисперсия B равна 4.

3. Учебные пары «число остановок — оставшиеся километры»: (1; 8), (2; 6), (3; 7), (3; 3), (4; 2), (5; 1). Построй диаграмму рассеивания, подпиши оси и единицы. Опиши общее направление и назови пример, показывающий, что не все точки строго ему следуют.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Проверяются обе шкалы, шесть точек, две точки на вертикали 3 и отсутствие произвольной ломаной. Это разные учебные наблюдения, а не последовательные положения одного автобуса: нельзя делать вывод, что один автобус поехал назад. Допустимы другие верные исключения из общего направления, например сравнение (3; 3) и (3; 7) для отсутствия однозначного прогноза.

   Проверь: Шесть отдельных точек, два разных значения при 3 остановках. В целом оставшееся расстояние меньше при большем числе остановок, но от (2; 6) к (3; 7) оно растёт.

4. По учебным наблюдениям за десять летних дней построена диаграмма рассеивания «продано порций мороженого — число купающихся на пляже». Автор написал: «Продажа мороженого всегда увеличивает число купающихся; день с необычно малым числом купающихся надо удалить». Перепиши вывод корректно. Назови возможный общий фактор, от которого зависят обе величины, и объясни, что следует проверить перед удалением необычной точки.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Принимается иной осторожный вывод без «всегда» и без утверждения о причине. Возможные общие факторы: температура воздуха и воды, солнечная погода, выходной день. Перед удалением проверяют исходную запись, дату и погоду в этот день (например, дождь или шторм), способ подсчёта. Настоящее необычное наблюдение сохраняют; ошибочную запись исправляют с указанием основания.

   Проверь: Пример: «В эти дни при больших продажах мороженого купающихся обычно больше. Это связь в наблюдениях, а не доказательство того, что мороженое влияет на купание». Общий фактор — жаркая погода.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке