Частота события и случайный опыт: тренировка для 7 класса

От записи опыта к частоте события

Случайный опыт проводят в заданных условиях, но его результат заранее не известен. Например, подбрасывают монету и записывают, какой стороной она упала. До начала договорись, что делать при падении на ребро или потере монеты из виду. Событие описывает то, что нас интересует: «выпал орёл».

Случайное событие при условиях опыта может произойти, а может и не произойти. Достоверное событие при этих условиях обязательно произойдёт; невозможное не произойдёт. В мешочке только круглые жетоны: вынутый жетон будет круглым, но не квадратным. Редкое событие отличается от невозможного: оно может произойти. «Ни разу не наблюдали» ещё не означает «невозможно».

Частота события в серии равна числу его появлений, делённому на число всех проведённых опытов. Если мяч попал в корзину 5 раз в 20 бросках, частота попаданий равна $\frac{\text{5}}{\text{20}}$ = 0,25 = 25%. Число 5 — количество попаданий, а частота — доля. Она лежит от 0 до 1.

Указывай, о какой серии речь. При объединении серий сначала сложи количества появлений и количества опытов, затем найди их отношение. Простое среднее двух частот подходит для двух серий одинаковой длины, но в общем случае длины нужно учитывать.

Вероятность описывает модель опыта, частота вычисляется по полученной записи. Для симметричной монеты вероятность орла равна $\frac{\text{1}}{\text{2}}$, но в конечной серии орлов не обязательно ровно половина. В длинных сериях частоты обычно устойчивее; это не обещает точного совпадения или приближения на каждом следующем шаге.

Записывай все результаты по порядку и не исправляй их ради ожидаемой частоты. Порядок бросков помогает проверить журнал. Из одной короткой серии нельзя ни гарантировать следующий исход, ни доказать, что монета несимметрична.

Вернуться к тренажёру →

Четыре работы: журнал опыта и объяснение

Здесь нужно провести опыт, сохранить записи и объяснить вывод. Проверяющий оценивает согласованность данных и рассуждения; близость частоты к половине не является критерием правильности.

1. Проведи 30 бросков монеты. До начала опиши правило для падения на ребро или неразличимого результата и объясни, почему такой бросок нельзя записать решкой. Запиши по порядку все 30 учтённых результатов: О или Р. Сосчитай орлов после 10, 20 и 30 бросков и составь таблицу: число бросков, число орлов, частота орла. Сравни частоты с половиной и опиши наблюдение без предсказания следующего броска.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Проверяются заранее описанное правило учёта и довод о нём (запись решкой сдвинула бы частоту), ровно 30 исходных записей, три подсчёта по начальным частям того же журнала и правильные отношения. Принимаются любые фактические исходы. Вывод должен описывать именно полученные изменения: монотонного приближения к половине не требуется. Придумывать или исправлять запись нельзя.

   Проверь: Единого числового ответа нет. При k₁, k₂ и k₃ орлах в первых 10, 20 и 30 бросках частоты равны $\frac{\text{k₁}}{\text{10}}$, $\frac{\text{k₂}}{\text{20}}$, $\frac{\text{k₃}}{\text{30}}$.

2. В первой учебной серии событие наблюдали 4 раза из 10, во второй — 30 раз из 50. Ученик усреднил частоты и получил 0,5 для всех опытов вместе. Найди общую частоту, объясни ошибку и укажи условие, при котором простое среднее двух частот было бы правильным.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Полное решение содержит 4 + 30 = 34 появления, 10 + 50 = 60 опытов и отношение этих сумм. Ошибка — одинаковый вес серий разной длины. Для равных длин n среднее ($\frac{\text{k₁}}{\text{n}}$ + $\frac{\text{k₂}}{\text{n}}$) : 2 равно $\frac{\text{k₁ + k₂}}{\text{2n}}$; допустимо объяснение словами или числовым примером. Совпадение частот серий также делает простое среднее верным, но не является общим правилом для произвольных серий.

   Проверь: Общая частота $\frac{\text{34}}{\text{60}}$ = $\frac{\text{17}}{\text{30}}$. При одинаковой длине двух серий можно усреднить их частоты.

3. Для учебной серии бросков кости дана таблица: число очков 1, 2, 3, 4, 5, 6; количества 3, 4, 6, 2, 3, 6. Найди число всех бросков и частоты событий A «выпало больше трёх» и B «выпало не больше трёх». Объясни, почему сумма частот равна 1. Можно ли по этой таблице установить порядок бросков?

   Разбор и ориентиры для проверки

   Проверяются сумма всех шести количеств, правильное включение 4, 5 и 6 в A и 1, 2, 3 в B, дроби и объяснение: каждый бросок относится ровно к одному из двух событий. Сумма количеств A и B равна всем броскам. Таблица сохраняет количества, но разные последовательности дают ту же таблицу.

   Проверь: 24 броска; частота A = $\frac{\text{11}}{\text{24}}$, B = $\frac{\text{13}}{\text{24}}$. Порядок восстановить нельзя.

4. Трое учеников описали один журнал: из 25 независимых бросков симметричной монеты орёл выпал 16 раз. Первый написал: «Частота орла 0,64». Второй: «Завтра в любых 25 бросках будет 16 орлов». Третий: «Нужно заменить три орла решками, чтобы опыт стал правильным». Оцени каждое высказывание и напиши собственный вывод из двух предложений.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Нужно проверить вычисление, отличить наблюдение от гарантии следующей серии и отвергнуть подгонку данных. Допустимы другие формулировки с тем же смыслом. Симметричная модель допускает отклонения частоты; корректность опыта определяется соблюдением условий и записью, а не нужным количеством орлов.

   Проверь: Первое верно; второе и третье неверны. Возможный вывод: «В этой серии частота орла равна 16 : 25 = 0,64. Новая серия может дать другую частоту; исходный журнал сохраняем».

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке