Математика · 7 класс
Высота, медиана и биссектриса треугольника, 7 класс
Определения медианы, биссектрисы и высоты, вычисления по ним и положение основания высоты. Чертежи и объяснения отличий для треугольников разных видов.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
Что именно делится или перпендикулярно
Медиана треугольника — отрезок, который соединяет вершину с серединой противоположной стороны.
Биссектриса треугольника — отрезок биссектрисы его угла от вершины до точки противоположной стороны. Биссектриса угла делит угол на два равных угла.
Высота — перпендикуляр от вершины к прямой, содержащей противоположную сторону. Её основание может лежать на продолжении стороны.
Для вычисления углов понадобится сумма углов треугольника — 180°. Из неё следует, что в треугольнике не бывает двух углов, каждый из которых не меньше 90°.
Совпадение этих линий в особом треугольнике нельзя переносить на произвольный. Отношение 2 : 1 при пересечении медиан изучается в 8 классе.
Объясни и докажи
Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.
Начерти тупоугольный треугольник и проведи из каждой вершины высоту. Объясни, почему некоторые основания оказываются вне сторон.
Разбор и ориентиры для проверки
Необходимы три перпендикуляра к прямым противоположных сторон, а не к произвольным линиям. Для тупого угла две высоты проходят вне треугольника. Разрешены любой масштаб и обозначения; линейка и угольник допустимы: это упражнение на высоты, а не задача на построение циркулем и линейкой (такие задачи — в отдельной подборке).
Проверь: Одна высота внутри, две на продолжениях; каждый отрезок перпендикулярен соответствующей прямой стороны.
Начерти разносторонний остроугольный треугольник. Из одной вершины проведи медиану, высоту и биссектрису. Подпиши три разных основания и объясни проверку каждого.
Разбор и ориентиры для проверки
Не требовать совпадения линий. Принимаются линейка, угольник, транспортир как проверка именно этих определений, либо классическое построение.
Проверь: Середина стороны; перпендикуляр; два равных угла.
Может ли медиана произвольного треугольника не быть высотой? Приведи конкретный чертёж и объясни, какого условия не хватает.
Разбор и ориентиры для проверки
Достаточен невырожденный разносторонний пример, где вершина не лежит на серединном перпендикуляре к основанию. Измерение служит проверкой примера, не общим доказательством.
Проверь: Да; середина стороны не обеспечивает перпендикулярность.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.
Медиана
Сверь данные условия с определением медианы.
Медиана AM проведена к стороне BC = 18 см. Найди BM в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 9
M — середина BC, поэтому BM = 18 : 2 = 9 см.
AM — медиана треугольника ABC, BM = 6,5 см. Найди BC в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
BM = MC, поэтому BC = 2 · 6,5 = 13 см.
Точки D, E и F лежат на стороне BC треугольника ABC. BC = 12 см, BD = 6 см, BE = 7 см, BF = 9 см. Какой из отрезков AD, AE и AF — медиана треугольника?
Варианты: 1) AD; 2) AE; 3) AF
Ответ и объяснение
Ответ: AD
Медиана идёт в середину противоположной стороны. Середина BC удалена от B на 12 : 2 = 6 см — это точка D, поэтому медиана — AD. Точка E делит BC на части 7 см и 5 см, точка F — на 9 см и 3 см.
В треугольнике ABC проведена медиана AM. Точка K лежит на стороне BC между точками B и M. Сравни длины отрезков BK и KC.
Варианты: 1) BK < KC; 2) BK = KC; 3) BK > KC
Ответ и объяснение
Ответ: BK < KC
M — середина BC, поэтому BM = MC. K лежит между B и M, значит BK < BM. Отрезок KC содержит весь отрезок MC, поэтому KC > MC = BM > BK.
Биссектриса
Сверь данные условия с определением биссектрисы.
Биссектриса AD проведена в треугольнике ABC, ∠BAC = 74°. Найди ∠BAD в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 37
Биссектриса AD делит угол A на два равных угла: ∠BAD = 74° : 2 = 37°.
AD — биссектриса угла A треугольника ABC, ∠BAD = 31°. Найди ∠BAC в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 62
Биссектриса делит угол A на два равных угла по 31°, поэтому ∠BAC = 2 · 31° = 62°.
В треугольнике ABC ∠A = 86°, ∠B = 58°, AD — биссектриса треугольника. Найди ∠ADB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 79
Биссектриса делит угол A пополам: ∠BAD = 86° : 2 = 43°. В треугольнике ABD ∠ADB = 180° − 43° − 58° = 79°.
В треугольнике ABC ∠A = 64°. Из вершины A к стороне BC проведены отрезки AD, AE и AF, точки D, E и F различны, причём BD = DC, AE ⊥ BC, ∠BAF = 32°. Какой из этих отрезков — биссектриса треугольника?
Варианты: 1) AD; 2) AE; 3) AF
Ответ и объяснение
Ответ: AF
Биссектриса делит угол A на два равных угла по 64° : 2 = 32°. ∠BAF = 32°, значит, ∠FAC = 32° и AF — биссектриса. AD — медиана, AE — высота; с биссектрисой они совпадают только в особом треугольнике.
Высота
Сверь данные условия с определением высоты.
В треугольнике ABC ∠A = 25°, ∠B = 40°. Из вершины A опущен перпендикуляр AH к прямой BC. Где находится точка H?
Варианты: 1) Между B и C; 2) На продолжении BC за B; 3) На продолжении BC за C
Ответ и объяснение
Ответ: На продолжении BC за C
По сумме углов треугольника ∠C = 180° − 25° − 40° = 115°, он тупой. Если бы H лежала на луче CB — между B и C или за B, — в треугольнике AHC были бы прямой угол H и тупой угол C, а двух таких углов в треугольнике не бывает. Значит, H лежит на продолжении BC за точку C.
AH — высота треугольника ABC, точка H лежит между B и C, ∠B = 38°. Найди ∠BAH в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 52
Треугольник ABH прямоугольный с прямым углом H, поэтому ∠BAH = 90° − 38° = 52°.
В треугольнике ABC угол C прямой, M — середина стороны BC. Какой отрезок является высотой треугольника, проведённой из вершины A?
Варианты: 1) AB; 2) AC; 3) AM
Ответ и объяснение
Ответ: AC
Высота из A — перпендикуляр из A к прямой BC. Катет AC перпендикулярен BC, поэтому AC и есть эта высота, её основание — вершина C. AM — медиана, AB — гипотенуза; они не перпендикулярны BC.
На координатной плоскости даны точки A(3; 0), B(0; 2), C(0; 5), N(0; 0) и K(0; 3). Какой отрезок является высотой треугольника ABC, проведённой из вершины A?
Варианты: 1) AB; 2) AN; 3) AK
Ответ и объяснение
Ответ: AN
Прямая BC — это ось y (x = 0). Отрезок AN лежит на оси x (y = 0) и перпендикулярен BC, поэтому AN — высота. Её основание N лежит на продолжении BC за точку B, для высоты это допустимо. AB и AK к оси y не перпендикулярны.
В треугольнике ABC ∠B = 125°, AH — высота к прямой BC. Найди ∠BAH в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 35
∠ABH смежный с ∠ABC: 180° − 125° = 55°. В прямоугольном треугольнике ABH ∠BAH = 90° − 55° = 35°.
Вопросы о тренировке
Как записывать ответ?
Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.
Это подготовка к ВПР или ОГЭ?
Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.
Программа и границы проверки
Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 7 класса, с. 71; результаты, с. 72–73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.
Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.
Другие темы для тренировки
Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.