Скалярное произведение векторов

Что проверить перед вычислением

Сначала установи направления векторов. Для угла перенеси их начала в одну точку параллельно самим себе; после замены одного вектора противоположным заново проверь угол между направлениями; не переноси угол треугольника без этой проверки.

Скалярное произведение — число. Его знак связан с видом угла между ненулевыми векторами. Нулевое произведение означает их перпендикулярность; сначала исключи нулевой вектор.

В координатах связывай первую координату с первой, вторую со второй. В задаче с параметром сначала запиши условие произведения, затем реши уравнение и проверь найденное число.

Длину суммы нельзя получать сложением длин без проверки направлений. Вырази квадрат длины через скалярные произведения или сначала найди координаты результирующего вектора.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Даны u = (2; −1), v = (3; 4). Найди скалярное произведение и угол между ними, записав точный косинус угла. Определи, острый угол или тупой. Сделай рисунок и проверь знак.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Произведение 6−4 = 2. Длины $\sqrt{\text{5}}$ и 5, поэтому cos α = $\frac{\text{2}}{\text{5}\sqrt{\text{5}}}$, положительное число меньше 1. Можно рационализировать знаменатель: $\frac{\text{2}\sqrt{\text{5}}}{\text{25}}$. Критерии: координаты сопоставлены правильно, найдены обе длины, угол между направлениями, косинус и его знак, рисунок согласован. Сам угол в градусах не требуется.

   Проверь: u · v = 2; cos α = $\frac{\text{2}}{\text{5}\sqrt{\text{5}}}$; угол острый.

2. Даны u = (1; 3), v = (t; −2). Найди t, при котором векторы перпендикулярны. Затем найди длину u + v и объясни, почему нельзя просто сложить длины u и v.

   Разбор и ориентиры для проверки

   u·v = t−6 = 0, t = 6. Сумма (7;1), длина $\sqrt{\text{50}}$ = $5\sqrt{\text{2}}$. Через перпендикулярность получается |u+v|² = |u|² + |v|² = 10+40 = 50. Длины $\sqrt{\text{10}}$ и $\sqrt{\text{40}}$ дают при сложении $3\sqrt{\text{10}}$, что не равно $\sqrt{\text{50}}$: направления не совпадают. Критерии: проверены ненулевые векторы, параметр, длина суммы, объяснена ошибка сложения длин; два способа длины подтверждают друг друга.

   Проверь: t = 6; |u + v| = $5\sqrt{\text{2}}$.

3. В треугольнике ABC AB = 7 см, AC = 5 см, угол BAC = 60°. Через скалярное произведение найди BC. Ученик записал BC² = AB² + AC² − 2(BA · AC), где BA и AC — векторы. Объясни ошибку в этой формуле, покажи, как правильно использовать вектор BA, и проверь результат теоремой косинусов.

   Разбор и ориентиры для проверки

   BC = AC−AB как вектор; |BC|² = 25+49−2·(5·7·cos 60°) = 39. BA противоположен AB, угол между BA и AC равен 120°, произведение −$\frac{\text{35}}{\text{2}}$; тогда BC = BA+AC, и плюс перед удвоенным произведением снова даёт 39. Теорема косинусов: 49+25−70·$\frac{\text{1}}{\text{2}}$ = 39. Критерии: согласованы направления и знак в разложении, найден точный корень и единица, ошибка объяснена, выполнена независимая проверка.

   Проверь: BC = $\sqrt{\text{39}}$ см.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке