Равнобедренный треугольник и неравенство треугольника — 7 класс

Какие свойства следуют из данных

В равнобедренном треугольнике две стороны равны: это боковые стороны. Третья сторона — основание; угол между равными сторонами — угол при вершине. У равностороннего треугольника все три стороны равны. Равные стороны и углы бери из условия или отметок, а не из внешнего вида схемы.

Свойство: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Их сумма с углом при вершине равна 180°. Например, при угле между равными сторонами 32° каждый угол при основании равен (180° − 32°) : 2 = 74°.

Признак равнобедренного треугольника: если два угла треугольника равны, то стороны, лежащие против этих углов, тоже равны и треугольник равнобедренный. Сначала назови вершины равных углов и противоположные стороны. Признак позволяет установить равнобедренность, свойство — сделать вывод из уже известного равенства сторон.

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию из противоположной вершины, совпадают. Медиана делит основание пополам, биссектриса делит угол при вершине пополам, высота перпендикулярна основанию. Уточни, из какой вершины проведён отрезок.

Каждая сторона треугольника строго меньше суммы двух других. Для сторон a, b и c положительной длины третья сторона должна удовлетворять |a − b| < c < a + b. Равенство на границе не подходит: вершины окажутся на одной прямой. Например, при сторонах 2 см и 6 см длина третьей больше 4 см и меньше 8 см.

Если названы две разные длины сторон равнобедренного треугольника, ещё не известно, какая длина повторяется. Рассмотри обе возможности и в каждой проверь неравенство треугольника. Лишь после этого находи все допустимые результаты.

Вернуться к тренажёру →

Обоснуй вывод и разбери все случаи

Письменные решения проверяет преподаватель. Одного числа недостаточно: назови использованное свойство или признак и проверь допустимость случаев.

1. Две стороны равнобедренного треугольника имеют длины 9 см и 14 см. Найди все возможные периметры и докажи, что других вариантов нет.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Равными могут быть стороны по 9 см: 9 + 9 > 14, периметр 32 см. Или по 14 см: 14 + 14 > 9, периметр 37 см. Остальные неравенства также выполняются. Третья сторона обязана совпасть с одной из двух данных. Полный ответ содержит оба значения, проверку существования и полноту перебора. Один допустимый случай — частичное решение.

   Проверь: 32 см и 37 см, в любом порядке.

2. Один угол равнобедренного треугольника равен 40°. Найди остальные углы во всех возможных случаях. Объясни, почему одного ответа недостаточно, и сделай по схеме для каждого случая.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Данный угол может лежать между равными сторонами либо при основании. В первом случае оставшиеся углы равны и каждый равен (180° − 40°) : 2 = 70°. Во втором второй угол при основании равен 40°, а угол при вершине — 100°. Оба случая дают положительные углы в сумме 180°. Полный ответ рассматривает обе роли угла и согласует отметки равных сторон с равными углами на каждой схеме.

   Проверь: Если 40° — угол при вершине, остальные по 70°. Если 40° — угол при основании, остальные 40° и 100°.

3. В треугольнике ABC AB = AC, ∠B = (3x + 8)°, ∠C = (5x − 14)°. Найди x и все углы. Объясни, почему первое уравнение выражает равенство углов, а не их сумму 180°.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Углы B и C лежат при основании BC и равны: 3x + 8 = 5x − 14. Отсюда 2x = 22, x = 11. Получаем по 41°, а третий угол 180° − 41° − 41° = 98°. Полное решение обосновывает равенство углов, проверяет обе формулы и сумму всех трёх углов. Равенство сторон — условие, равенство углов при основании — применённое свойство.

   Проверь: x = 11; ∠B = ∠C = 41°, ∠A = 98°.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке