Математика · 8 класс

Средняя линия треугольника и трапеции, 8 класс

Середины сторон, параллельность, длина средней линии и обратные задачи. Условия треугольника и трапеции различаются явно.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Две разные формулы

Средняя линия треугольника соединяет середины двух его сторон; она параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон, параллельна основаниям и равна половине суммы оснований.

Отрезок, параллельный стороне, сам по себе не обязательно является средней линией: проверь середины нужных сторон.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

В треугольнике ABC точка M — середина AB. Через M провели прямую, параллельную BC; она пересекает AC в точке N. Докажи, что MN — средняя линия, и найди MN при BC = 18 см.
Разбор и ориентиры для проверки
Для применения формулы сначала установлено AN = NC. Допустимы теорема Фалеса, подобие с отношением $\frac{1}{2}$ или другое корректное доказательство. Нельзя назвать отрезок средней линией только по параллельности, не используя середину AB.
Проверь: N — середина AC по теореме Фалеса, поэтому MN — средняя линия; MN = 9 см.
Средняя линия трапеции 16 см, основания относятся как 3 : 5. Найди оба основания и проверь ответ.
Разбор и ориентиры для проверки
Сумма оснований 32 см, 8 частей по 4 см. Проверка (12 + 20) : 2 = 16.
Проверь: 12 и 20 см.
В треугольнике ABC середины сторон обозначены M, N, P. Как связаны периметры треугольников MNP и ABC? Докажи свой вывод и найди периметр MNP при AB = 7 см, BC = 9 см, AC = 12 см.
Разбор и ориентиры для проверки
Используются три применения теоремы о средней линии, затем сложение. Указано соответствие, а не только итоговая формула.
Проверь: Периметр MNP вдвое меньше периметра ABC: 14 см. Каждая сторона MNP равна половине параллельной ей стороны ABC.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Треугольник

Укажи сторону, параллельную средней линии.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC, BC = 26 см. Найди MN в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
MN = $\frac{BC}{2}$ = 26 : 2 = 13 см.
Средняя линия треугольника параллельна стороне длиной 15 см. Найди длину средней линии в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 7,5
Половина соответствующей стороны: 15 : 2 = 7,5 см.
Стороны треугольника 10, 14 и 18 см. Найди периметр треугольника, образованного всеми тремя средними линиями, в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 21
Его стороны — половины исходных; периметр (10 + 14 + 18) : 2 = 21 см.
В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и BC, точка P — середина отрезка AM, точка Q — середина отрезка BN. Какой отрезок параллелен стороне AC?
Варианты: 1) MN; 2) PN; 3) PQ
Ответ и объяснение
Ответ: MN
MN соединяет середины сторон AB и BC, это средняя линия, поэтому MN ∥ AC. Через N проходит только одна прямая, параллельная AC, — это NM, значит, PN не параллельна AC. PQ тоже не параллельна AC: BP — три четверти стороны BA, а BQ — четверть стороны BC, отношения разные.

Потренировать эту тему →

Трапеция

Сначала определи основания и боковые стороны.

Основания трапеции 11 см и 23 см. Найди её среднюю линию в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 17
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: (11 + 23) : 2 = 17 см.
Основания трапеции 8,5 и 13,5 см. Найди среднюю линию в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 11
(8,5 + 13,5) : 2 = 11 см.
Одно основание трапеции 10 см, другое вдвое длиннее. Найди среднюю линию в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 15
Второе основание 20 см; (10 + 20) : 2 = 15 см.
В трапеции ABCD основания AB и CD. Точки K, L, M, N — середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно. Какой отрезок является средней линией трапеции?
Варианты: 1) KM; 2) KL; 3) LN
Ответ и объяснение
Ответ: LN
Боковые стороны — BC и DA, их середины L и N, поэтому LN — средняя линия. KM соединяет середины оснований, KL — середины основания и боковой стороны.

Потренировать эту тему →

Обратный расчёт и проверка

Восстанови сумму оснований или нужную сторону; проверь, является ли отрезок средней линией.

Средняя линия трапеции 12 см, одно основание 18 см. Найди второе основание в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Сумма оснований 2 · 12 = 24 см; второе основание 24 − 18 = 6 см.
Средняя линия треугольника 8 см. Найди параллельную ей сторону в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 16
Сторона вдвое длиннее: 16 см.
Средняя линия трапеции 14 см. Одно основание на 8 см длиннее другого. Найди меньшее основание в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Сумма оснований 2 · 14 = 28 см; меньшее основание (28 − 8) : 2 = 10 см.
В треугольнике ABC точки D и E лежат на AB и AC, DE ∥ BC. AD = 3 см, DB = 6 см, AE = 2 см, EC = 4 см. Какой вывод верен?
Варианты: 1) DE является средней линией; 2) DE не является средней линией; 3) Данных недостаточно
Ответ и объяснение
Ответ: DE не является средней линией
AD ≠ DB и AE ≠ EC: D и E не являются серединами. DE отсекает треть каждой стороны; параллельности недостаточно.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 8 класса, с. 71; результаты, с. 73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Две разные формулы

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Треугольник

Трапеция

Обратный расчёт и проверка

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме