Арифметическая прогрессия: член и сумма

Как проверить модель прогрессии

У арифметической прогрессии соседние члены отличаются на одно и то же число. Перед применением формул установи, что постоянна разность, а не отношение.

Индекс первого члена равен 1. Между первым и n-м членом n−1 переходов; между членами с индексами k и m — m−k переходов. Разность может быть отрицательной или нулевой.

Для суммы учитывай число слагаемых и оба крайних члена. Попарное сложение первого с последним помогает проверить результат.

В задаче на номер члена результат должен быть положительным целым числом. В текстовой задаче подпиши единицы и проверь, что первый день или первый ряд соответствует первому члену.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. В арифметической прогрессии a₄ = 5, a₁₁ = 33. Найди разность, первый член, двадцатый член и сумму первых двадцати членов. Проверь оба исходных значения.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Семь переходов: d = $\frac{\text{33−5}}{\text{7}}$ = 4. a₁ = 5−3·4 = −7; a₂₀ = −7+19·4 = 69. Сумма $\frac{\text{20 · (−7+69)}}{\text{2}}$ = 620. Проверки: a₄ = −7+12 = 5, a₁₁ = −7+40 = 33. Критерии: число переходов, отрицательный первый член, формула члена и сумма, две исходные проверки; другие верные способы допустимы.

   Проверь: d = 4; a₁ = −7; a₂₀ = 69; S₂₀ = 620.

2. Объясни формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии с помощью записи суммы в прямом и обратном порядке. Примени её к прогрессии с a₁ = 9, d = −2, n = 7. Проверь ответ прямым сложением.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Запиши Sₙ = a₁+a₂+…+aₙ и Sₙ = aₙ+aₙ₋₁+…+a₁. При сложении каждой паре соответствует a₁+aₙ, поэтому 2Sₙ = n(a₁+aₙ). Здесь a₇ = 9−12 = −3, S₇ = $\frac{\text{7 · 6}}{\text{2}}$ = 21. Проверка: 9+7+5+3+1−1−3 = 21. Критерии: объяснено равенство сумм пар, получена формула для любого положительного целого n, верно учтена отрицательная разность, выполнена проверка.

   Проверь: Sₙ = $\frac{\text{n(a₁+aₙ)}}{\text{2}}$; для указанной прогрессии S₇ = 21.

3. В первом ряду театра 18 мест; в каждом следующем ряду на 3 места больше. Всего в первых n рядах 315 мест. Найди n. Ученик взял последний ряд как 18+3n. Объясни ошибку и проверь число мест.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Последний ряд 18+3(n−1) = 3n+15. Сумма $\frac{\text{n(18+3n+15)}}{\text{2}}$ = 315, то есть n²+11n−210 = 0. Корни 10 и −21; число рядов положительное, n = 10. Проверка: десять рядов от 18 до 45 дают $\frac{\text{10 · 63}}{\text{2}}$ = 315. Между первым и последним рядами девять переходов, а не десять. Критерии: модель, правильное число переходов, решение уравнения, отбор индекса и проверка исходной суммы.

   Проверь: n = 10; в последнем ряду 45 мест.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке