Теорема синусов и решение треугольников

Как сопоставлять стороны и углы

Сделай чертёж и сопоставь каждой стороне противолежащий угол: стороне BC соответствует A, стороне AC — B, стороне AB — C. Теорема синусов связывает эти пары и радиус описанной окружности.

Перед вычислением найди недостающий угол, если известны два других. Сторону напротив тупого угла нельзя сопоставлять острому углу только из-за одинаковой буквы в соседней формуле.

По значению синуса угол может быть острым или тупым. Для каждого кандидата проверь сумму углов, положительность третьего угла и условие задачи. Значение синуса больше единицы не соответствует углу треугольника.

Решить треугольник полностью означает найти неизвестные стороны и углы, а не только одно число. Сохраняй точные выражения до конца; округляй только когда это прямо требуется.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

1. Реши треугольник ABC: A = 30°, B = 60°, BC = 8 см. Найди все неизвестные стороны и углы и радиус описанной окружности. Дай точные ответы; сделай чертёж и проверку.

   Разбор и ориентиры для проверки

   C = 180° − 30° − 60° = 90°. $\frac{\text{BC}}{\text{sin A}}$ = 16 = 2R. AC = 16 sin 60° = $8\sqrt{\text{3}}$; AB = 16 sin 90° = 16. Критерии: верное сопоставление сторон и углов, все неизвестные элементы, точные длины и единицы, радиус, сумма углов и согласованность отношений синусов. Полный верный способ через высоту допустим.

   Проверь: C = 90°; AC = $8\sqrt{\text{3}}$ см; AB = 16 см; R = 8 см.

2. Даны A = 30°, a = 5 см и b = $5\sqrt{\text{2}}$ см, где a и b лежат напротив A и B. Ученик получил B = 45° и заявил, что решение единственно. Найди все допустимые пары углов B, C и соответствующие стороны c. Объясни ошибку и дай точные ответы; для c можно использовать теорему косинусов.

   Разбор и ориентиры для проверки

   По теореме синусов sin B = $\frac{\text{b sin A}}{\text{a}}$ = $\frac{\sqrt{\text{2}}}{\text{2}}$. Подходят B = 45° и B = 135°: при A = 30° оба дают положительный C. Для стороны c теорема косинусов при известном A даёт 25 = 50 + c² − $5\sqrt{\text{6}}$ · c, то есть c² − $5\sqrt{\text{6}}$ · c + 25 = 0. Дискриминант 50, два положительных корня $\frac{\text{5(}\sqrt{\text{6}}\text{±}\sqrt{\text{2}}\text{)}}{\text{2}}$. Больший корень соответствует C = 105°, меньший C = 15°. Критерии: обе пары углов, две соответствующие длины с единицами, проверка суммы углов и положительности c, объяснение неединственности. Формулы сложения тригонометрических функций не требуются.

   Проверь: B = 45°, C = 105°, c = $\frac{\text{5(}\sqrt{\text{6}}\text{+}\sqrt{\text{2}}\text{)}}{\text{2}}$ см; либо B = 135°, C = 15°, c = $\frac{\text{5(}\sqrt{\text{6}}\text{−}\sqrt{\text{2}}\text{)}}{\text{2}}$ см.

3. В ABC A = 60°, B = 90°, AC = 12 см. Реши треугольник и найди площадь. Проверь результат площади вторым способом.

   Разбор и ориентиры для проверки

   AC — сторона напротив прямого угла. Теорема синусов даёт BC = 12 sin 60° = $6\sqrt{\text{3}}$, AB = 12 sin 30° = 6. Площадь через перпендикулярные стороны AB и BC равна $\frac{\text{6 · 6}\sqrt{\text{3}}}{\text{2}}$ = $18\sqrt{\text{3}}$. Второй способ: $\frac{\text{AB · AC · sin A}}{\text{2}}$ = $\frac{\text{6 · 12}\sqrt{\text{3}}}{\text{4}}$ = $18\sqrt{\text{3}}$. Критерии: найден угол, обе стороны и площадь с единицами, выполнены две независимые подстановки для площади и проверена роль гипотенузы.

   Проверь: C = 30°; BC = $6\sqrt{\text{3}}$ см; AB = 6 см; площадь $18\sqrt{\text{3}}$ см².

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке