Многочлены: упражнения для 7 класса

Порядок действий с многочленами

Многочлен — сумма одночленов. Стандартный вид получают, записав каждый одночлен в стандартном виде и приведя подобные. Подобны слагаемые с одинаковой буквенной частью: важны и буквы, и их показатели. Порядок слагаемых можно менять.

Сначала приведи подобные, затем определяй степень: это наибольшая степень оставшихся одночленов. Степень одночлена — сумма показателей его буквенных множителей. Например, степень 11u³v² равна 5. Ненулевая постоянная имеет степень 0; степень нулевого многочлена здесь не спрашивается.

Коэффициент — числовой множитель одночлена вместе со знаком. У z³ коэффициент 1, у −z³ — −1. Свободный член не содержит букв. Не складывай коэффициенты при разных буквенных частях.

При сложении многочленов скобки после знака плюс можно снять, сохранив знаки. При вычитании меняется знак каждого слагаемого вычитаемого. Пример: (6u + 9) − (2u − 7) = 6u + 9 − 2u + 7 = 4u + 16.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, умножь его на каждый член скобки. При умножении двух многочленов каждый член одного умножают на каждый член другого, затем приводят подобные. Пример: (u + 7)⁠(u + 8) = u² + 8u + 7u + 56 = u² + 15u + 56.

Разложить многочлен на множители — представить его произведением. Сначала проверь общий числовой и буквенный множитель. Например, 14u³ + 21u² = 7u²(2u + 3). Обратная проверка раскрытием скобок действует для всех значений букв, в том числе нулевых.

При группировке объедини слагаемые так, чтобы после вынесения общих множителей появилась одинаковая скобка. Пример: uv + 8u + 2v + 16 = u(v + 8) + 2(v + 8) = (u + 2)⁠(v + 8). Не всякая первая выбранная группировка удобна; порядок слагаемых можно изменить.

Проверяй преобразование обратным действием: разложение — умножением, найденное вычитаемое — вычитанием из уменьшаемого. Подстановка одного числа помогает заметить ошибку, но сама по себе не доказывает тождество. В письменном решении сохраняй промежуточные строки и знаки.

Вернуться к тренажёру →

Преобразуй и объясни

Здесь нужно записать полное преобразование, объяснить действия и выполнить требуемую проверку. Автоматической оценки произвольного многочлена нет. После собственной попытки открой критерии; правильный порядок слагаемых может отличаться от образца.

1. Приведи 6a²b − 4ab² + 3 − 2a²b + 4ab² − 5 к стандартному виду. Укажи степень, число слагаемых и свободный член; объясни, почему степень определяешь после приведения подобных.

   Разбор и ориентиры для проверки

   4a²b − 2; степень 3, два слагаемых, свободный член −2. В исходной записи были подобные и сокращающиеся слагаемые.

   Проверь: Правильное объединение групп. Степень оставшегося одночлена 4a²b равна сумме показателей 2 + 1 = 3; это наибольшая степень оставшихся одночленов. Отдельно: степень 3, два слагаемых, свободный член −2. Порядок слагаемых не важен.

2. Ученик записал (5x² − 2x + 1) − (2x² − 4x + 3) = 3x² − 6x + 4. Найди ошибку, запиши верное преобразование и проверь исходное и исправленное выражения при x = 2.

   Разбор и ориентиры для проверки

   3x²+2x−2; при x=2 обе верные записи дают 14. Знаки −4x и +3 во второй скобке нужно изменить на +4x и −3.

   Проверь: Все три знака второй скобки, приведение подобных, подстановка в обе формы. Одна подстановка проверяет этот пример, но не доказывает тождество.

3. Длина прямоугольника (x + 5) см, ширина (2x − 1) см, x > 1. Представь площадь многочленом стандартного вида и найди площадь при x = 3. Запиши промежуточные произведения и единицу ответа.

   Разбор и ориентиры для проверки

   S=(x+5)⁠(2x−1)=2x²−x+10x−5=2x²+9x−5; 40 см².

   Проверь: Каждый член первой скобки умножен на каждый член второй; приведены подобные; при x = 3 стороны 8 и 5, площадь 40.

4. Разложи 3a² − 6a + ab − 2b на множители способом группировки. Проверь результат умножением. Запиши ещё один равный вид произведения, поменяв знаки обоих множителей.

   Разбор и ориентиры для проверки

   3a(a−2)+b(a−2)=(3a+b)⁠(a−2)=(−3a−b)⁠(2−a).

   Проверь: Общая скобка, произведение, обратная проверка, два одновременных изменения знака. Допустима иная правильная группировка и порядок множителей.

5. Ученик назвал степень многочлена 9m⁵ − 4m²n + 2n − 9m⁵ + m²n равной 5. Исправь ответ: приведи многочлен к стандартному виду, найди его степень и объясни порядок действий.

   Разбор и ориентиры для проверки

   9m⁵ − 9m⁵ = 0; −4m²n + m²n = −3m²n. Остаётся −3m²n + 2n. Степени оставшихся одночленов: 2 + 1 = 3 и 1, поэтому степень многочлена 3. Сначала нужен стандартный вид: старшие члены могут сократиться. Допустим другой порядок слагаемых.

   Проверь: Сокращены члены с m⁵, приведены подобные m²n. Получено −3m²n + 2n, степень 3; объяснено, почему исходная старшая степень не сохраняется.

6. Из многочлена A = 4t² − 5t + 2 вычли многочлен B и получили 7t² + t − 6. Найди B полностью и проверь, что A − B даёт указанную разность.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Из A − B = 7t² + t − 6 следует B = A − (7t² + t − 6). Значит B = 4t² − 5t + 2 − 7t² − t + 6 = −3t² − 6t + 8. Проверка: (4t² − 5t + 2) − (−3t² − 6t + 8) = 7t² + t − 6. Одна верная строка B без преобразования и проверки не выполняет все требования.

   Проверь: Записано B = A − (7t² + t − 6), все знаки раскрыты верно. B = −3t² − 6t + 8; проверка обратным действием.

7. Преобразуй (2x − 1)⁠(x + 3) − (x − 4)⁠(2x + 5) в многочлен стандартного вида. Объясни, почему его степень ниже степени каждого отдельного произведения. Найди значение при x = −1.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Первое произведение: 2x² + 6x − x − 3 = 2x² + 5x − 3. Второе: 2x² + 5x − 8x − 20 = 2x² − 3x − 20. Разность равна 8x + 17; квадратные члены сокращаются. При x = −1 получаем −8 + 17 = 9. Допустимо другое корректное распределение действий с сохранением знака перед вторым произведением.

   Проверь: Оба произведения раскрыты, из второго вычтены все члены. Получено 8x + 17, степень 1 из-за сокращения 2x²; значение 9.

8. Разложи на множители 2x²y − 6xy + 4xy². Вынеси общий одночленный множитель с наибольшим положительным целым коэффициентом и наибольшими общими степенями букв, так чтобы в скобках остался многочлен с целыми коэффициентами. Проверь раскрытием скобок. Затем найди значение при x = 3, y = 2.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Общий целый делитель коэффициентов 2, 6, 4 — 2; в каждом члене есть x и y, но общих x² или y² нет. Получаем 2xy(x − 3 + 2y). Раскрытие даёт исходный многочлен. При x = 3, y = 2 значение 2 · 3 · 2 · (3 − 3 + 4) = 48. Иной порядок слагаемых в скобке допустим; разложение только с частью общего множителя не выполняет уточнённое условие.

   Проверь: Общий множитель 2xy; разложение 2xy(x − 3 + 2y). Проверены три произведения; числовое значение 48.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке