Линейные неравенства для 8 класса

Как решать линейные неравенства

Решение неравенства — значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство — найти все решения либо доказать, что их нет. Если не оговорено иное, ищем действительные значения x.

Раскрой скобки, перенеси слагаемые с переменной в одну часть, числа — в другую, приведи подобные слагаемые. Переносимое слагаемое меняет свой знак; сам знак неравенства при переносе не меняется.

При умножении или делении обеих частей на положительное число знак неравенства сохраняется. При умножении или делении на отрицательное число его меняют на противоположный: < на >, ≤ на ≥ и наоборот. На ноль делить нельзя.

Пример: 4 − 3x ≤ 10; −3x ≤ 6; x ≥ −2. При делении на −3 заменили ≤ на ≥. Ответ: [−2; +∞). Точка −2 включена и закрашена, луч идёт вправо.

Строгое неравенство x < 4 задаёт открытый числовой луч (−∞; 4). Точка 4 не включена: на рисунке незакрашенный кружок, в записи круглая скобка. При x ≤ 4 она была бы включена и скобка была бы квадратной. У −∞ и +∞ всегда круглые скобки.

Если после приведения подобных коэффициент при x равен нулю, проверь оставшееся числовое неравенство. Из 2x + 5 > 2x + 1 получается 0 · x > −4: подходят все действительные числа. Из 2x + 5 < 2x + 1 получается 0 · x < −4: решений нет. Случай 0 ≤ 0 верный, а 0 < 0 — неверный.

При дробных коэффициентах можно умножить обе части на положительный общий знаменатель. Например, $\frac{\text{x}}{\text{2}}$ − $\frac{\text{x}}{\text{3}}$ > 1 даёт 3x − 2x > 6, то есть x > 6. Здесь знаменатели — известные числа. Не умножай неравенство на выражение с неизвестным знаком.

Записывай преобразования → неравенство вида x < a, x ≤ a, x > a или x ≥ a → числовой промежуток → рисунок. В задачах на количество предметов отдельно учитывай целочисленность и неотрицательность. Квадратные и дробно-рациональные неравенства в эту тренировку не входят.

Решение системы неравенств с одной переменной — значение переменной, при котором верно каждое неравенство системы. Реши неравенства отдельно, отметь их решения на одной прямой и найди общую часть. Например, множество решений системы $\{\begin{array}{l}\text{x ≥ −6}\\ \text{x < 1}\end{array}$ — промежуток [−6; 1), а у системы $\{\begin{array}{l}\text{x < −2}\\ \text{x > 3}\end{array}$ общей части нет.

Вернуться к тренажёру →

Письменные задания с решениями

В заданиях 1–4, 9 и 11 запиши преобразования, числовой промежуток и нарисуй множество решений. В остальных обоснуй ответ. Равносильные способы решения допускаются; письменный ход проверяется вместе с преподавателем.

1. Реши 5(x − 1) > 3x − 1. Изобрази решения на числовой прямой и запиши промежуток.

   Разбор и ориентиры для проверки

   5x − 5 > 3x − 1; 2x > 4; x > 2. Делим на положительное число 2, знак сохраняется. Точка 2 не включена, луч вправо.

   Проверь: x > 2; (2; +∞).

2. Реши 4 − 2(x + 1) ≥ x + 11. Изобрази решения на числовой прямой и запиши промежуток.

   Разбор и ориентиры для проверки

   4 − 2x − 2 ≥ x + 11; −3x ≥ 9; x ≤ −3. При делении на −3 знак меняется. Граница −3 включена, луч в сторону меньших чисел.

   Проверь: x ≤ −3; (−∞; −3].

3. Реши $\frac{\text{x}}{\text{2}}$ − $\frac{\text{x − 2}}{\text{3}}$ < $\frac{\text{4}}{\text{3}}$. Изобрази решения на числовой прямой и запиши промежуток.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Умножаем обе части на 6, знак сохраняется: 3x − 2(x − 2) < 8; 3x − 2x + 4 < 8; x < 4. Граница 4 не включена, луч влево.

   Проверь: x < 4; (−∞; 4).

4. Реши −0,5x + 1 ≤ 2. Изобрази решения на числовой прямой и запиши промежуток.

   Разбор и ориентиры для проверки

   −0,5x ≤ 1. Делим на отрицательное число −0,5 и меняем знак: x ≥ −2. Граница включена, луч вправо.

   Проверь: x ≥ −2; [−2; +∞).

5. По рисунку запиши неравенство и промежуток. Назови одно целое решение и одно целое число, которое решением не является.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Выделенная часть слева от 2, точка 2 закрашена. Поэтому x ≤ 2. Для примеров допустима любая пара целых чисел, первое ≤ 2, второе > 2; например, 2 и 4 тоже подходят.

   Проверь: x ≤ 2; (−∞; 2]. Например, решение 1, не решение 3.

6. Реши оба неравенства и объясни различие: а) 2(x + 3) ≤ 2x + 6; б) 2(x + 3) < 2x + 6.

   Разбор и ориентиры для проверки

   В обоих случаях 2x + 6 стоит с каждой стороны. После вычитания получаем а) 0 ≤ 0 — верно при любом x; б) 0 < 0 — неверно при любом x. На коэффициент 0 не делим. Символ ∅ также допустим для пустого множества.

   Проверь: а) Любое действительное число, (−∞; +∞); б) решений нет.

7. У кружка 500 рублей. Доставка материалов стоит 80 рублей, каждый набор — 45 рублей. Какое наибольшее число наборов можно купить с одной доставкой? Составь и реши неравенство.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Пусть n — целое неотрицательное число наборов. 45n + 80 ≤ 500; 45n ≤ 420; n ≤ $\frac{\text{28}}{\text{3}}$ = $9\frac{\text{1}}{\text{3}}$. Целые допустимые значения от 0 до 9. Для 9 наборов стоимость 485 рублей, для 10 — 530, что больше бюджета. Нельзя округлять границу вверх.

   Проверь: Не более 9 наборов; наибольшее число — 9.

8. Ученик решал 6 − 2x > 10: «−2x > 4, значит x > −2». Найди и исправь ошибку. Запиши полный ответ и проверь его одним подходящим числом.

   Разбор и ориентиры для проверки

   При делении −2x > 4 на отрицательное число −2 нужно заменить > на <: x < −2. Подстановка −3 даёт 6 − 2 · (−3) = 12 > 10. Любое проверенное число меньше −2 подходит как пример; пример не заменяет полного ответа.

   Проверь: x < −2; (−∞; −2). Например, x = −3 подходит.

9. Реши систему $\{\begin{array}{l}\text{2(x − 1) ≥ x + 3}\\ \text{3 − x > −4}\end{array}$. Покажи оба преобразования, изобрази общую часть на числовой прямой и запиши ответ промежутком. Проверь обе границы.

   Разбор и ориентиры для проверки

   2x − 2 ≥ x + 3 даёт x ≥ 5; −x > −7 даёт x < 7. На прямой выделен промежуток от 5 до 7: точка 5 закрашена, точка 7 — нет. 5 удовлетворяет обоим условиям, 7 нарушает второе. Критерии: оба преобразования, пересечение, рисунок и запись с верными границами.

   Проверь: x ≥ 5 и x < 7; [5; 7).

10. Ученик для системы $\{\begin{array}{l}\text{x ≥ 2}\\ \text{x < 6}\end{array}$ написал «(−∞; +∞), потому что два луча вместе покрывают прямую». Исправь ответ и объясни ошибку. Приведи число, которое попало в его ответ, но не является решением системы.

    Разбор и ориентиры для проверки

    В системе должны выполняться оба условия, поэтому берём общую часть. Например, 0 нарушает x ≥ 2. Допустимо любое число вне [2; 6) с проверкой нарушенного условия. Критерии: правильный промежуток, объяснение одновременности условий и проверенный контрпример.

    Проверь: [2; 6). Ученик нашёл объединение вместо пересечения; например, 0 не подходит.

11. Реши систему $\{\begin{array}{l}\text{x + 4 ≥ x + 1}\\ \text{x < 2}\end{array}$. Объясни, что происходит с первым неравенством после переноса слагаемых с x в одну часть. Изобрази ответ на прямой.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Из первого неравенства получаем 0 · x ≥ −3 — верное числовое неравенство при любом x, поэтому оно не ограничивает x. Осталось x < 2. Критерии: верное постоянное неравенство, отсутствие деления на нулевой коэффициент и левый луч с исключённой точкой 2.

    Проверь: Первое неравенство верно при любом x; ответ системы (−∞; 2).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке