Математика · 7 класс
Окружность: хорды, диаметры и их свойства, 7 класс
Радиусы, хорды, перпендикулярный диаметр и равнобедренные треугольники с центром окружности. Вычисления и доказательства.
Потренируйся самостоятельно
Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.
Без регистрации · ответы можно записывать в тетради
Родителю или репетитору — без имени и ответов.
Для преподавателя: выдать или распечатать набор
Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».
Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.
Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.
Свойства хорд
Хорда соединяет две точки окружности. Диаметр — хорда через центр, поэтому её длина равна двум радиусам.
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Для обратного утверждения хорда не должна быть диаметром: диаметр через её середину перпендикулярен ей.
Радиусы к концам хорды образуют равнобедренный треугольник. Его свойства помогают находить углы и доказывать утверждения без измерения схемы.
Объясни и докажи
Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.
Хорды AB и CD одной окружности параллельны, M и N — их середины. Докажи, что прямая MN проходит через центр O окружности.
Разбор и ориентиры для проверки
Нужны три шага: прямая через центр, перпендикулярная хорде, делит её пополам; прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой; через две точки M и N проходит одна прямая. Если одна из хорд — диаметр, её середина совпадает с O. Допускается доказательство через OM ⊥ AB и ON ⊥ CD с единственностью перпендикуляра.
Проверь: Прямая l через O, перпендикулярная AB, по свойству диаметра проходит через M; так как CD ∥ AB, она перпендикулярна и CD и проходит через N. Значит, MN совпадает с l и проходит через O.
Диаметр AB окружности перпендикулярен хорде CD и пересекает её в точке M. Докажи, что AC = AD.
Разбор и ориентиры для проверки
Нужны свойство диаметра, перпендикулярного хорде, и признак равенства треугольников: AM — общий катет, CM = MD, углы при M прямые. Допускается вывод через серединный перпендикуляр: прямая AB — серединный перпендикуляр к CD, а точка A лежит на нём. Измерение доказательством не является.
Проверь: CM = MD, потому что диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Прямоугольные треугольники AMC и AMD равны по двум катетам, поэтому AC = AD.
Две равные хорды AB и CD одной окружности не являются диаметрами. Из центра O опущены перпендикуляры OM и ON к ним. Докажи без измерения, что OM = ON.
Разбор и ориентиры для проверки
OA = OC как радиусы; перпендикуляры из центра делят хорды пополам, поэтому AM = CN — половины равных хорд. Значит, равны и вторые катеты OM и ON.
Проверь: Прямоугольные треугольники OMA и ONC равны по гипотенузе и катету, поэтому OM = ON.
Задания с ответами и объяснениями
Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.
Хорда и диаметр
Назови свойство хорды или диаметра, на которое опираешься.
Радиус окружности 6,5 см. Найди длину диаметра в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 13
Диаметр равен двум радиусам: 2 · 6,5 = 13 см.
Самая длинная хорда окружности равна 30 см. Чему равен радиус этой окружности?
Варианты: 1) 30 см; 2) Нельзя найти: неизвестно, проходит ли хорда через центр; 3) 15 см
Ответ и объяснение
Ответ: 15 см
Самая длинная хорда окружности — диаметр: любая хорда, не проходящая через центр, короче его. Значит, эта хорда и есть диаметр, он равен 30 см, а радиус — 30 : 2 = 15 см.
Хорда AB равна 14 см. Радиус окружности 9 см. На сколько сантиметров диаметр длиннее этой хорды?
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Диаметр 2 · 9 = 18 см, разность 18 − 14 = 4 см.
Радиус окружности 6 см. Хорды AB, CD и EF равны 12, 8 и 10 см соответственно. Какая хорда является диаметром?
Варианты: 1) AB; 2) CD; 3) EF
Ответ и объяснение
Ответ: AB
Диаметр равен 2 · 6 = 12 см. Эту максимальную длину имеет AB; CD и EF короче.
Перпендикуляр к хорде
Проверь, выполнены ли условия свойства, прежде чем его применять.
Диаметр перпендикулярен хорде AB = 22 см и пересекает её в точке M. Найди MB в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 11
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: MB = 22 : 2 = 11 см.
Диаметр перпендикулярен хорде AB в M. AM = 8,5 см. Найди AB в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 17
Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам: AB = 2 · 8,5 = 17 см.
M — середина хорды AB, которая не является диаметром, O — центр окружности, ∠OAB = 28°. Найди ∠AOM.
Варианты: 1) 56°; 2) 62°; 3) 28°
Ответ и объяснение
Ответ: 62°
OA = OB, поэтому треугольник OAB равнобедренный, а OM — медиана к его основанию и, значит, высота: OM ⊥ AB. В прямоугольном треугольнике OMA ∠AOM = 90° − 28° = 62°.
Диаметр PQ пересекает хорду AB в точке M, AM = 5 см, MB = 7 см. Перпендикулярны ли PQ и AB?
Варианты: 1) Да: диаметр PQ проходит через центр; 2) Нет: точка M не центр окружности; 3) Нет: иначе M была бы серединой хорды AB
Ответ и объяснение
Ответ: Нет: иначе M была бы серединой хорды AB
Если бы диаметр PQ был перпендикулярен хорде AB, он делил бы её пополам и AM = MB. Но 5 см ≠ 7 см, поэтому PQ и AB не перпендикулярны. Прохождение через центр перпендикулярности не даёт, а перпендикулярный диаметр пересекает хорду в её середине, которая не обязана быть центром.
Радиусы и углы
Радиусы одной окружности равны.
O — центр окружности, A и B лежат на ней, ∠OAB = 47°. Найди ∠AOB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 86
OA = OB как радиусы, поэтому треугольник OAB равнобедренный и ∠OBA = ∠OAB = 47°. Тогда ∠AOB = 180° − 2 · 47° = 86°.
O — центр окружности, A и B лежат на ней, ∠AOB = 112°. Найди ∠OAB в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 34
OA = OB, поэтому углы при основании AB равны: (180° − 112°) : 2 = 34°.
O — центр окружности, A и B лежат на ней, ∠AOB = 60°, AB = 7 см. Найди периметр треугольника AOB в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 21
OA = OB, поэтому углы при основании AB равны: (180° − 60°) : 2 = 60°. Все углы треугольника AOB по 60°, значит, он равносторонний: OA = OB = AB = 7 см, периметр 3 · 7 = 21 см.
Радиусы OA и OB образуют угол 70°, M — середина хорды AB. Найди ∠AOM в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 35
Треугольник OAB равнобедренный (OA = OB), а медиана OM к основанию является и биссектрисой: ∠AOM = 70° : 2 = 35°.
Вопросы о тренировке
Как записывать ответ?
Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.
Это подготовка к ВПР или ОГЭ?
Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.
Программа и границы проверки
Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: окружность 7 класса, с. 71, 73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.
Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. В пособии издательства «Математика. Геометрия. Тематическое планирование. 7–9 классы» к учебнику Л. С. Атанасяна и др. (Просвещение, 2023) свойства диаметров и хорд стоят в плане 7 класса, п. 41. Карточка учебника у издателя.
Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.
Другие темы для тренировки
Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · Признаки делимости · 5–6 классы · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.