Математика · 6 класс

Осевая симметрия: симметричные точки и фигуры, 6 класс

Точки и фигуры, симметричные относительно прямой, точки на оси, оси симметрии фигур и проверка рисунка. Письменные построения с объяснением.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как построить симметричную точку

Если точки A и A′ симметричны относительно прямой l, то прямая l перпендикулярна отрезку AA′ и проходит через его середину. Точка, лежащая на прямой l, симметрична сама себе.

При симметрии относительно оси Ox ордината меняется на противоположное число, относительно оси Oy — абсцисса; ноль остаётся нулём.

Чтобы построить фигуру, симметричную данной, достаточно построить точки, симметричные её вершинам, и соединить их в том же порядке. Равных расстояний до оси мало: отрезок между симметричными точками должен быть перпендикулярен оси.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Начерти треугольник, одна вершина которого лежит на прямой l, а две другие — по одну сторону от l. Построй треугольник, симметричный ему относительно прямой l, и опиши проверку.
Разбор и ориентиры для проверки
Подходит любой треугольник с такой вершиной. Для каждой пары симметричных вершин прямая l должна проходить через середину соединяющего отрезка и быть ему перпендикулярна. Одного равенства расстояний без перпендикулярности недостаточно.
Проверь: Вершина на прямой l симметрична сама себе; для двух других вершин прямая l перпендикулярна соединяющим отрезкам и делит их пополам; вершины соединены в том же порядке.
На клетчатой бумаге построй точки A(−4; 2), B(−2; 5), C(−2; −2) и точки, симметричные им относительно оси Oy. Проверь каждую пару координатами и геометрическим условием.
Разбор и ориентиры для проверки
Ордината сохраняется, знак абсциссы меняется. Ось Oy перпендикулярна каждому соединяющему отрезку и проходит через его середину.
Проверь: Симметричные точки: (4; 2), (2; 5), (2; −2).
Начерти прямоугольник, у которого соседние стороны не равны. Проведи все его оси симметрии. Проверь, является ли диагональ осью симметрии, и обоснуй ответ.
Разбор и ориентиры для проверки
При перегибе по диагонали вершина, не лежащая на ней, должна совпасть с противоположной вершиной; для этого соседние стороны должны быть равны. Допустим аргумент на конкретном чертеже с неравными сторонами.
Проверь: Две оси — прямые через середины противоположных сторон. Диагональ осью не является.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Симметричная точка

Определи, какая координата меняет знак.

Найди ординату точки, симметричной точке A(−4; 3) относительно оси Ox.
Ответ и объяснение
Ответ: −3
Симметричная точка находится на том же расстоянии от оси Ox, но по другую сторону: это (−4; −3), её ордината −3.
Найди абсциссу точки, симметричной точке B(−7; −2) относительно оси Oy.
Ответ и объяснение
Ответ: 7
Меняется знак абсциссы, ордината сохраняется: симметричная точка (7; −2).
Какая точка симметрична сама себе относительно оси Oy?
Варианты: 1) (5; 0); 2) (0; 5); 3) (3; 5)
Ответ и объяснение
Ответ: (0; 5)
Точка (0; 5) лежит на оси Oy: её абсцисса равна нулю. Точка, лежащая на оси, симметрична сама себе.
Какая точка симметрична точке C(3; −4) относительно оси Ox?
Варианты: 1) (−3; 4); 2) (−3; −4); 3) (3; 4)
Ответ и объяснение
Ответ: (3; 4)
Абсцисса сохраняется, знак ординаты меняется.

Потренировать эту тему →

Расстояния до оси

Симметричные точки лежат по разные стороны от оси, если не лежат на ней.

Точка P находится на расстоянии 5 см от прямой l, точка P′ симметрична точке P относительно прямой l. Найди длину отрезка PP′ в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Прямая l перпендикулярна отрезку PP′ и проходит через его середину, поэтому PP′ = 5 + 5 = 10 см.
Точки K и K′ симметричны относительно прямой l, KK′ = 16 см. Найди расстояние от точки K до прямой l в сантиметрах.
Ответ и объяснение
Ответ: 8
Прямая l делит отрезок KK′ пополам: 16 : 2 = 8 см.
Симметричны ли точки A(−3; 2) и B(3; 5) относительно оси Oy?
Варианты: 1) Нет: ординаты не равны; 2) Да: абсциссы противоположны; 3) Нет: абсциссы не равны
Ответ и объяснение
Ответ: Нет: ординаты не равны
У точек, симметричных относительно оси Oy, абсциссы — противоположные числа, а ординаты равны. Абсциссы −3 и 3 противоположны, как и должно быть, поэтому то, что они не равны, симметрии не мешает; обе точки находятся на расстоянии 3 от оси Oy. Но ординаты 2 и 5 не равны, поэтому точки не симметричны: точке A симметрична точка (3; 2).

Потренировать эту тему →

Ось фигуры

Ось должна совмещать всю фигуру с собой.

У прямоугольника ABCD соседние стороны AB и BC не равны. Какая прямая является его осью симметрии?
Варианты: 1) Прямая через вершины A и C; 2) Прямая через середины AB и BC; 3) Прямая через середины AB и CD
Ответ и объяснение
Ответ: Прямая через середины AB и CD
Прямая через середины AB и CD перпендикулярна этим сторонам и делит их пополам, поэтому A и B, D и C симметричны относительно неё. Диагональ AC осью не является: при перегибе по ней вершина B не попадает в D, потому что AB ≠ BC. Прямая через середины AB и BC отрезает от прямоугольника треугольник и тоже не является осью.
Относительно какой прямой треугольники ABC и PQR симметричны, если A соответствует P, B — Q, C — R?
Варианты: 1) Ось Oy; 2) Ось Ox; 3) Прямая AP
Ответ и объяснение
Ответ: Ось Oy
Соответствующие вершины: A(−3; 1) и P(3; 1), B(−1; 3) и Q(1; 3), C(−1; −1) и R(1; −1). Ось Oy перпендикулярна отрезкам AP, BQ, CR и делит каждый из них пополам, поэтому треугольники симметричны относительно Oy. Прямая AP сама проходит через пару симметричных точек, а не делит отрезок AP пополам.
Сколько осей симметрии у квадрата?
Ответ и объяснение
Ответ: 4
Две прямые через середины противоположных сторон и две диагонали.
Для какой фигуры каждая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии?
Варианты: 1) Квадрат; 2) Круг; 3) Отрезок
Ответ и объяснение
Ответ: Круг
Каждая прямая через центр круга делит его на две половины, которые совпадают при перегибе. У квадрата осей симметрии только четыре, а у отрезка — две: прямая, на которой он лежит, и прямая, перпендикулярная ему и проходящая через его середину.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 6 класса, с. 17; результаты, с. 20. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков и др., «Математика. 6 класс. Базовый уровень», в двух частях, Просвещение; третье переработанное издание, строка 475 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Поурочные разработки издателя к этому учебнику (2025) относят осевую симметрию к п. 22 «Симметрии» первой части. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как построить симметричную точку

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Симметричная точка

Расстояния до оси

Ось фигуры

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме