Математика · 9 класс

Уравнения окружности и прямой: точки и пересечения

Находи центр и радиус окружности, составляй уравнение прямой, проверяй точки и пересечения. Короткие числовые ответы и письменные построения для 9 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Как связать уравнение с чертежом

Точка принадлежит линии, когда её координаты превращают уравнение в верное равенство. Подставляй оба числа и сохраняй знаки.

Чтобы прочитать центр окружности из развёрнутого уравнения, выдели полные квадраты. Радиус — положительная длина; не путай его с квадратом радиуса.

Для прямой проверь уравнение на двух заданных точках. Вертикальную прямую нельзя записать в виде y = kx + b; её абсцисса постоянна.

Общие точки удовлетворяют обоим уравнениям. Реши систему и проверь каждый найденный корень. Если запрошена только одна из двух точек, учитывай указанное условие выбора.

Вернуться к тренажёру →

Запиши решение и проверь

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши действия и объясни выбор. Разбор содержит ориентиры для проверки; другой математически верный способ допустим. Короткая автопроверка не оценивает ход решения.

Окружность задана уравнением x² + y² + 4x − 8y − 5 = 0. Найди её центр и радиус. Составь уравнение горизонтальной прямой через центр и найди все её пересечения с окружностью. Сделай чертёж.
Разбор и ориентиры для проверки
При выделении квадратов добавляем 4 и 16 к обеим частям. Подстановка y = 4 даёт (x + 2)² = 25. Критерии: равносильное уравнение, верные знаки центра и положительный радиус, обе точки, проверка и чертёж с масштабом.
Проверь: (x + 2)² + (y − 4)² = 25; C(−2; 4), R = 5; прямая y = 4, пересечения (−7; 4) и (3; 4).
Через A(−4; 1) и B(2; 7) проведена прямая. Составь её уравнение и найди все общие точки с окружностью x² + y² = 25. Проверь координаты в обоих уравнениях и построй чертёж.
Разбор и ориентиры для проверки
Угловой коэффициент (7 − 1) : (2 − (−4)) = 1, свободный член 5. x² + (x + 5)² = 25 даёт 2x(x + 5) = 0. Критерии: прямая проходит через A и B, получены оба корня и обе пары, подстановки подтверждают принадлежность; равносильная форма x − y + 5 = 0 допустима.
Проверь: y = x + 5; общие точки (−5; 0) и (0; 5).
Ученик записал для (x − 7)² + (y + 2)² = 81 центр (−7; 2) и радиус 81. Исправь обе ошибки. Найди две точки окружности на горизонтали через центр и проверь их.
Разбор и ориентиры для проверки
В квадрате из координаты вычитают координату центра: y + 2 = y − (−2). Число 81 — квадрат радиуса. На горизонтали y = −2 получаем (x − 7)² = 81. Критерии: исправлены оба знака центра и извлечён положительный корень, найдены две точки и выполнены подстановки.
Проверь: C(7; −2), R = 9; точки (−2; −2) и (16; −2).

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Центр и радиус

Все длины измеряются в единицах координатной системы.

Окружность задана уравнением x² + y² − 8x + 6y − 11 = 0. Найди абсциссу её центра. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 4
(x − 4)² + (y + 3)² = 36. Центр имеет координаты (4; −3); запрошена первая.
Окружность задана уравнением (x + 5)² + (y − 2)² = 49. Найди ординату её центра. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Центр (−5; 2). В квадрате разности из y вычитают ординату центра.
Окружность задана уравнением x² + y² + 10x − 2y − 10 = 0. Найди радиус в единицах координатной системы. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
Выделяем квадраты: (x + 5)² + (y − 1)² = 36. Радиус равен арифметическому корню из 36, то есть 6.
Центр окружности C(−2; 5), точка P(4; 13) лежит на ней. Найди радиус в единицах координатной системы. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 10
Разности координат 6 и 8. CP = $\sqrt{6² + 8²}$ = 10; это радиус.

Потренировать эту тему →

Уравнение прямой

Найди только названный коэффициент.

Прямая x − 2y + 6 = 0 записана в виде y = kx + b. Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
Переносим: 2y = x + 6, значит y = 0,5x + 3. Свободный член равен 3.
Прямая y = kx + b проходит через (−1; 4) и (3; 12). Найди k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Разности ординат и абсцисс равны 8 и 4. k = 8 : 4 = 2; b = 6.
Прямая 2x − 3y − 21 = 0 записана в виде y = kx + b. Найди b. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −7
3y = 2x − 21, поэтому y = $\frac{2}{3}$ x − 7. Свободный член равен −7.
Прямая задана уравнением 2x + 5y + 12 = 0. Найди абсциссу её точки пересечения с осью Ox. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −6
На оси Ox ордината равна нулю. Получаем 2x + 12 = 0, откуда x = −6. Точка пересечения (−6; 0).

Потренировать эту тему →

Принадлежность точки

Условие знака выбирает один из возможных корней.

Точка (4; t) лежит на окружности x² + y² = 65. Известно, что t < 0. Найди t. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −7
16 + t² = 65, значит t² = 49. Из двух корней условию t < 0 соответствует −7.
Точка (a; 2) лежит на окружности (x − 2)² + (y + 1)² = 25. Известно, что a > 2. Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 6
(a − 2)² + 9 = 25, откуда a − 2 = ±4. Корень a = 6 больше 2; корень −2 не подходит.
Точка (a; −2) лежит на прямой 3x + 2y − 5 = 0. Найди a. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 3
3a − 4 − 5 = 0. Получаем 3a = 9, значит a = 3.
Прямая y = kx − 4 проходит через (−3; 8). Найди k. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
8 = −3k − 4, поэтому −3k = 12 и k = −4.

Потренировать эту тему →

Общие точки

Проверь решение в обоих уравнениях.

Прямая y = 3 пересекает окружность x² + y² = 25. Найди абсциссу общей точки, лежащей левее оси Oy. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: −4
x² + 9 = 25, поэтому x = ±4. Слева от Oy абсцисса отрицательна: −4.
Сколько общих точек у окружности (x − 1)² + (y − 2)² = 16 и прямой y = 6? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 1
После подстановки (x − 1)² + 16 = 16. Получается единственный корень x = 1, общая точка (1; 6).
Сколько общих точек у окружности (x + 2)² + (y − 1)² = 9 и прямой x = 2? Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 0
Подстановка даёт 16 + (y − 1)² = 9. Квадрат неотрицателен, это равенство невозможно.
Прямые 2x + y = 10 и x − y = 2 пересекаются. Найди ординату их общей точки. Дай краткий ответ: запиши число без единицы измерения.
Ответ и объяснение
Ответ: 2
Складываем уравнения: 3x = 12, x = 4. Затем y = x − 2 = 2; обе проверки дают верные равенства.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

В числовом задании требуется краткий ответ: число без единицы измерения. Единица названа в вопросе. В выборе отметь один верный вариант. Автопроверка оценивает ответ; промежуточные действия и обоснование проверяй по разбору письменной работы. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа «Математика. 5–9 классы», базовый уровень, 2025: 9 класс: ФРП 2025, содержание с. 72, результаты с. 75, тематическое планирование с. 87. Дата сверки — 4 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня № 436: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы», Просвещение, 2026, ФПУ 1.1.2.7.2.1. Прочитан законный план издателя, с. 41–42: «Уравнение окружности и прямой», пункты 97–99. Целевые параграфы учебника не прочитаны. Содержание — по ФРП, задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 5 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Как связать уравнение с чертежом

Запиши решение и проверь

Задания с ответами и объяснениями

Центр и радиус

Уравнение прямой

Принадлежность точки

Общие точки

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме