Классическая вероятность: задачи для 8 класса

Как выбрать элементарные события и вычислить вероятность

Сначала опиши опыт и то, что записываешь как результат. Каждый возможный результат опыта называют элементарным событием (иначе — исходом). Если записываем число очков на одной игральной кости, элементарных событий шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Событие A «выпало чётное число очков» состоит из элементарных событий 2, 4 и 6: именно они благоприятствуют A.

Равновозможность означает одинаковые шансы каждого элементарного события. Её нужно обосновать моделью: симметричная кость или выбор каждого отдельного жетона с одинаковой вероятностью. Два названия — «получилось» и «не получилось» — сами по себе равных шансов не дают.

В конечной равновозможной модели обозначим число всех элементарных событий через N, число благоприятствующих событию A — через N(A). Тогда P(A) = $\frac{\text{N(A)}}{\text{N}}$. Считай отдельные элементарные события, а не названия цветов или типов предметов. Если элементарные события не равновозможны, это отношение использовать нельзя.

Пример: из 14 одинаковых на ощупь жетонов, 5 с рисунком и 9 без рисунка, выбирают один, причём любой жетон имеет одинаковый шанс. Для события A «жетон с рисунком» N = 14, N(A) = 5, поэтому P(A) = $\frac{\text{5}}{\text{14}}$. Знаменатель — все жетоны, включая благоприятствующие.

При двух бросках записывай результат по порядку: (первый; второй). При двух костях различай их, например белую и синюю. Таблица из шести строк и шести столбцов содержит 36 пар. Пары (2; 5) и (5; 2) различны, хотя суммы равны. Суммы от 2 до 12 не равновозможны: разным суммам отвечает разное число пар.

Вероятность принимает значения от 0 до 1. Невозможному событию не благоприятствует ни одно элементарное событие: P = 0. Достоверному благоприятствуют все: P = 1. В конечной равновозможной модели каждое элементарное событие имеет вероятность $\frac{\text{1}}{\text{N}}$. Сравнивать нужно отношения: $\frac{\text{3}}{\text{8}}$ больше $\frac{\text{4}}{\text{12}}$, хотя 3 меньше 4.

Частота — результат наблюдений: число появлений события делят на число проведённых опытов. Например, если в 30 бросках орёл выпал 18 раз, его частота $\frac{\text{18}}{\text{30}}$ = 0,6. Вероятность орла в модели симметричной монеты равна $\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Частота одной серии не обязана точно совпадать с вероятностью; реальные наблюдения нельзя исправлять ради ожидаемого числа.

Вернуться к тренажёру →

4 работы с полным решением и опытом

Нарисуй таблицу, обоснуй модель и проведи собственную серию наблюдений. Одного числа в ответе здесь недостаточно; проверяй работу по критериям вместе со взрослым или преподавателем.

1. Бросают белую и синюю правильные кости; все 36 упорядоченных пар считаются равновозможными. Построй таблицу 6 × 6: строки — белая, столбцы — синяя кость. Отметь пары, в которых на белой кости выпало ровно на 2 очка больше. Запиши событие A перечнем пар, вычисли P(A) и объясни знаменатель.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Проверяем таблицу с подписями обеих костей и всеми 36 клетками, четыре верно отмеченные пары, подсчёт и дробь. Нельзя добавлять обратные пары: по условию именно белая кость больше на 2. Допустим поворот таблицы при ясной подписи сторон.

   Проверь: A = {(3; 1), (4; 2), (5; 3), (6; 4)}; N = 36, N(A) = 4, P(A) = $\frac{\text{4}}{\text{36}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{9}}$.

2. В бесплатном школьном розыгрыше A — 6 билетов со знаком приза из 18, в розыгрыше B — 7 из 28. В каждом розыгрыше каждый отдельный билет достаётся с одинаковой вероятностью; берут один билет. Сравни шансы получить билет с призом: опиши элементарные события каждой модели, вычисли обе вероятности и объясни, почему нельзя сравнить только 6 и 7.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Для первой модели N = 18 и N(A) = 6, для второй N = 28 и 7 благоприятствующих элементарных событий. Сравнение долей должно быть показано, например через общий знаменатель 12. Равные шансы относятся к билетам внутри каждого розыгрыша; выбор не гарантирует приз.

   Проверь: P(A) = $\frac{\text{6}}{\text{18}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{3}}$, P(B) = $\frac{\text{7}}{\text{28}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{4}}$. Вероятность выше в A.

3. Подбрось обычную монету 20 раз. Перед началом договорись: если монета упала на ребро или результат не виден, повтори этот бросок. Запиши все 20 результатов по порядку буквами О и Р. Сосчитай орлов, вычисли их частоту и сравни с вероятностью орла в модели симметричной монеты. Объясни, почему совпадение не обязательно.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Принимаются любые фактически наблюдавшиеся 20 результатов. Проверяем количество записей, согласованность подсчёта k с ними, правильную дробь и различение частоты серии и вероятности модели. Близость частоты к половине не критерий правильности. Не требуется придумывать «подходящую» серию или по одной короткой серии объявлять монету несимметричной.

   Проверь: Единой последовательности и числовой частоты нет. Если орёл выпал k раз, частота равна $\frac{\text{k}}{\text{20}}$; теоретическая вероятность в симметричной модели $\frac{\text{1}}{\text{2}}$.

4. Симметричную монету бросают два раза. Четыре упорядоченных элементарных события равновозможны. Ученик выделил три события: «ни одного орла», «ровно один орёл», «два орла» и назначил каждому одинаковую вероятность. Исправь модель: перечисли элементарные события, распредели их по трём событиям, найди вероятности и объясни ошибку.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Проверяются четыре различных элементарных события, правильное распределение без пропусков, три вероятности и объяснение: событие «ровно один» содержит два равновозможных элементарных события, остальные — по одному. Три названия событий не доказывают равные шансы. Допустима таблица 2 × 2 или другой полный перечень.

   Проверь: ОО, ОР, РО, РР. Ни одного орла: РР, вероятность $\frac{\text{1}}{\text{4}}$. Ровно один: ОР и РО, вероятность $\frac{\text{2}}{\text{4}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Два орла: ОО, вероятность $\frac{\text{1}}{\text{4}}$.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке