Математика · 7 класс

Сумма углов треугольника и внешний угол, 7 класс

Третий угол, внешний угол, отношения углов и проверка существования треугольника. Вычисления с разбором и отдельные доказательства.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

НавыкНабор

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Внутренние и внешние углы

Сумма трёх внутренних углов треугольника равна 180°. Каждый внутренний угол строго больше 0° и меньше 180°.

Внешний угол образован одной стороной и продолжением другой стороны за вершину. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Внешний и смежный с ним внутренний угол дают 180°. Нельзя складывать внешний с любыми двумя углами треугольника.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

Докажи теорему о внешнем угле треугольника, используя сумму внутренних углов и свойство смежных углов. Обозначь внешний угол при вершине C на чертеже.
Разбор и ориентиры для проверки
Нужны правильное продолжение стороны, указание двух не смежных с внешним углов и обоснование обоих равенств. Допустимо другое верное доказательство, например через параллельную прямую.
Проверь: Пусть D лежит на продолжении BC за точку C. Из ∠A + ∠B + ∠ACB = 180° и ∠ACD + ∠ACB = 180° получаем ∠ACD = ∠A + ∠B.
Угол A треугольника на 20° больше B, а C вдвое больше B. Найди все три угла и проверь, существует ли такой треугольник.
Разбор и ориентиры для проверки
Пусть ∠B = x. Тогда (x + 20) + x + 2x = 180, 4x = 160, x = 40. Углы 60°, 40° и 80° положительны, их сумма 180°.
Проверь: ∠B = 40°, ∠A = 60°, ∠C = 80°.
Внешний угол при вершине C равен 116°, ∠A : ∠B = 3 : 5. Найди внутренние углы треугольника. Сначала обозначь нужный внешний угол на рисунке.
Разбор и ориентиры для проверки
∠A + ∠B = 116°, это 8 частей, одна часть 14,5°. ∠C смежный с внешним: 180° − 116° = 64°. Проверка суммы и отношения обязательна.
Проверь: ∠A = 43,5°, ∠B = 72,5°, ∠C = 64°.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Сумма углов

Проверь положительность результата.

Два угла треугольника равны 43° и 71°. Найди третий в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 66
Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому третий угол равен 180° − 43° − 71° = 66°.
Один угол треугольника 90°, другой 27°. Найди третий в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 63
Сумма углов треугольника равна 180°: 180° − 90° − 27° = 63°.
Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найди наибольший в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 80
Сумма углов 180° приходится на 2 + 3 + 4 = 9 частей, одна часть 180° : 9 = 20°. Наибольший угол 4 · 20° = 80°.
Два угла треугольника равны x и 2x, третий 75°. Найди меньший угол в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 35
По сумме углов x + 2x + 75° = 180°, откуда 3x = 105° и x = 35°. Углы 35°, 70° и 75°, меньший — 35°.

Потренировать эту тему →

Внешний угол

Установи, какие внутренние углы не смежны с внешним.

В треугольнике ABC ∠A = 34°, ∠B = 61°. Сторону BC продолжили за точку C до точки D. Найди ∠ACD в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 95
ACD — внешний угол при вершине C. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, A и B: 34° + 61° = 95°.
Внешний угол при C равен 124°, внутренний угол A равен 51°. Найди внутренний угол B в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 73
Внешний угол при C равен сумме внутренних углов A и B, поэтому ∠B = 124° − 51° = 73°.
Внешний угол при B равен 137°. Найди внутренний угол B в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 43
Внешний и внутренний углы при вершине B смежные, их сумма 180°: 180° − 137° = 43°.
Внешний угол равен 108°. Два не смежных с ним внутренних угла относятся как 4 : 5. Найди больший из них в градусах.
Ответ и объяснение
Ответ: 60
Внешний угол равен сумме двух не смежных с ним углов: 108° делится на 4 + 5 = 9 частей по 12°. Больший угол 5 · 12° = 60°.

Потренировать эту тему →

Проверка условий

Определи, какие условия должны выполняться для углов треугольника, и проверь их.

Какая тройка может быть углами треугольника?
Варианты: 1) 40°; 60°; 90°; 2) 35°; 65°; 80°; 3) 0°; 80°; 100°
Ответ и объяснение
Ответ: 35°; 65°; 80°
35° + 65° + 80° = 180°, и все углы больше 0°. В первой тройке сумма 190°, а угла 0° у треугольника не бывает.
Какое утверждение о тупых углах треугольника верно?
Варианты: 1) Тупых углов не больше одного; 2) Тупых углов может быть два, если третий угол острый; 3) У равнобедренного треугольника тупого угла не бывает
Ответ и объяснение
Ответ: Тупых углов не больше одного
Два тупых угла уже дают в сумме больше 180°, а сумма всех углов треугольника равна 180°, поэтому тупых углов не больше одного. Равнобедренный треугольник может быть тупоугольным: например, с углами 120°, 30° и 30°.
Ученик утверждает, что два угла треугольника равны 89° и 91°. Что можно сказать о таком треугольнике?
Варианты: 1) Он тупоугольный: угол 91° тупой; 2) Третий его угол равен 1°; 3) Такого треугольника нет
Ответ и объяснение
Ответ: Такого треугольника нет
89° + 91° = 180°, и на третий угол осталось бы 0°. Угол треугольника должен быть больше 0°, поэтому такого треугольника нет. О виде треугольника можно судить только после проверки суммы углов.
Какое утверждение верно для каждого внешнего угла треугольника?
Варианты: 1) Он больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним; 2) Он больше смежного с ним внутреннего угла треугольника; 3) Он тупой или прямой, так как лежит вне треугольника
Ответ и объяснение
Ответ: Он больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, а каждый из них больше 0°. Поэтому он больше каждого из этих углов. Если смежный внутренний угол тупой, внешний угол острый: он меньше смежного и не тупой.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Впиши число без единицы измерения. Единица названа в условии. Запятая и точка в десятичной дроби принимаются; точную дробь можно записать через черту или в дробные поля. Для нескольких решений читай, какое из них требуется в коротком ответе. Полный набор и обоснование проверяй в письменной работе. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание 7 класса, с. 71; результаты, с. 73. Дата сверки — 1 октября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др., «Математика. Геометрия. 7–9 классы. Базовый уровень», Просвещение; четырнадцатое переработанное издание, строка 479 приказа 436. Содержание — по ФРП 2025. Целевые параграфы учебника в доступном фрагменте не прочитаны; задания авторские. Карточка учебника у издателя.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 2 октября 2026 года; задания, изменённые после этого, перепроверены 2 октября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Потренируйся самостоятельно

Внутренние и внешние углы

Объясни и докажи

Задания с ответами и объяснениями

Сумма углов

Внешний угол

Проверка условий

Вопросы о тренировке

Материалы преподавателей по этой теме