Среднее, медиана, размах, диаграммы и графики: задания для 7 класса

Как вычислять и понимать характеристики данных

Среднее арифметическое — сумма всех значений, делённая на их количество. Повторения и нули тоже считаются наблюдениями. Например, среднее чисел 6, 9 и 15 равно (6 + 9 + 15) : 3 = 10. Среднее не обязано совпадать с одним из исходных чисел.

Когда одинаковое значение повторяется, удобно умножить его на частоту. Сложи такие произведения и раздели на сумму частот. При объединении групп с разным числом участников в общем случае нельзя просто усреднить средние: сначала восстанови сумму в каждой группе.

Чтобы найти медиану, сначала упорядочь весь набор по возрастанию, сохранив повторы. При нечётном количестве чисел берут серединное. Например, у ряда 2, 6, 6, 13, 18 медиана 6 — третье из пяти чисел.

Общее определение: не менее половины наблюдений не больше медианы и не менее половины не меньше неё. При чётном количестве наблюдений подходят все числа от меньшего из двух серединных до большего, включая границы. Если серединные числа равны, подходит только их общее значение.

Для одного числового ответа часто выбирают среднее арифметическое двух серединных чисел. В наших заданиях такой выбор оговорён в самом условии. Например, для 4, 10, 16, 22 по общему определению подходят числа от 10 до 16 включительно; выбранная середина равна (10 + 16) : 2 = 13. Это соглашение не отменяет общего определения.

Минимум — наименьшее значение, максимум — наибольшее. Размах равен разности максимума и минимума и не бывает отрицательным. Например, у −7, −1, 4 размах 4 − (−7) = 11. Он измеряется в тех же единицах, что и исходные данные.

Большое изменение одного значения может заметно изменить среднее и размах, но оставить медиану прежней. Поэтому выбор характеристики зависит от вопроса. Нельзя автоматически удалять необычное наблюдение, чтобы результат выглядел удобнее.

Среднее, медиана и размах описывают данный набор и разные его свойства. Одинаковое среднее не гарантирует одинакового разброса. Характеристика небольшой группы не является доказательством для всех людей, дней или будущих наблюдений.

Круговая диаграмма показывает части одного целого: весь круг, 360°, соответствует всем наблюдениям, то есть 100%. Доля сектора равна отношению его угла к 360°. Например, сектор с углом 36° — это $\frac{\text{36}}{\text{360}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{10}}$ круга, или 10% наблюдений. Число объектов в секторе можно найти, только зная, сколько наблюдений во всём круге.

На графике процесса сначала прочитай подписи осей, единицы и масштаб. Изменение величины на участке находят по разности её значений в концах участка; у горизонтального участка эта разность равна нулю. Вывод относится только к тому, что показывает график.

Вернуться к тренажёру →

Объясни выбор и построй свой набор

Письменные работы проверяют ход расчёта, смысл характеристики, чтение и построение диаграмм. Их оценивает преподаватель; автоматический итог короткого набора их не учитывает.

1. В первом кружке 3 участника, среднее число прочитанных каждым книг равно 4; во втором 5 участников, среднее равно 8. Ученик сложил 4 и 8 и поделил на 2. Объясни ошибку и найди среднее число книг у всех 8 участников. Книги каждого участника считаются отдельно; одинаковые названия у разных людей не объединяются.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Численности групп различаются: средние нельзя усреднять с одинаковым весом. Нужны суммы по обеим группам, общий знаменатель 8 и вывод. Дробное среднее допустимо, хотя каждый прочитал целое число книг. Принимаются разные равносильные записи вычислений.

   Проверь: Первый кружок: 3·4 = 12 книг; второй: 5·8 = 40. Общая сумма 52, всего восемь участников. Среднее 52 : 8 = 6,5 книги.

2. В течение пяти дней число посетителей комнаты было 9; 10; 10; 11; 40. Найди среднее, медиану и размах. Какая из двух характеристик центра ближе к обычному числу посетителей в большинстве этих дней? Обоснуй. Значение 40 из набора не удаляй.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Все пять значений сохранены. Нужны три вычисления и связь вывода с четырьмя днями около 10. Это сравнение для данного вопроса и набора, а не правило «среднее всегда хуже» или разрешение отбросить необычный день.

   Проверь: Среднее (9 + 10 + 10 + 11 + 40) : 5 = 16; медиана 10; размах 40 − 9 = 31. В большинстве этих дней было около 10 посетителей, поэтому здесь медиана ближе к обычному числу.

3. Для набора 1; 3; 7; 12 укажи все допустимые медианы по определению: не менее половины наблюдений не больше медианы и не менее половины не меньше неё. Затем отдельно выбери среднее двух серединных чисел. Объясни, почему это разные требования к ответу.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Для любого числа от 3 до 7 не менее двух наблюдений находятся с каждой требуемой стороны, включая равенство. Для числа меньше 3 или больше 7 одно из условий не выполняется. Число 5 — один выбранный представитель, оно не исключает остальные допустимые по определению значения.

   Проверь: По общему определению подходят все числа от 3 до 7 включительно. При дополнительном выборе среднего двух серединных получаем (3 + 7) : 2 = 5.

4. Составь два разных набора из пяти целых чисел, у которых среднее равно 4, но разный размах. Проверь свои наборы вычислениями. Перестановка тех же чисел новым набором не считается.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Принимается любая пара наборов с пятью целыми числами в каждом, суммами 20 и различными размахами. Нужны проверки обеих сумм, деление на 5, максимумы и минимумы. Совпадение с эталонными числами не требуется.

   Проверь: Возможный ответ: 0, 2, 4, 6, 8 — сумма 20, среднее 4, размах 8; 2, 3, 4, 5, 6 — сумма 20, среднее 4, размах 4.

5. В условном опросе 20 учеников каждый выбрал одно занятие: музыка — 9, спорт — 7, рисование — 4. Построй круговую диаграмму с названием и легендой. Покажи, как найдены доли и углы секторов, и проверь целое.

   Разбор и ориентиры для проверки

   9 + 7 + 4 = 20. Один ученик — $\frac{\text{1}}{\text{20}}$ круга: 360° : 20 = 18° и 100% : 20 = 5%. Углы 9 · 18° = 162°, 7 · 18° = 126°, 4 · 18° = 72°; сумма 360°. Критерии: три подписанных сектора, углы или доли соответствуют количествам, название и легенда, проверка суммы 100% или 360°. Цвета не оцениваются; при построении транспортиром допустима погрешность 1–2°.

   Проверь: Музыка — $\frac{\text{9}}{\text{20}}$ (45%, 162°), спорт — $\frac{\text{7}}{\text{20}}$ (35%, 126°), рисование — $\frac{\text{4}}{\text{20}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{5}}$ (20%, 72°).

6. Условные измерения объёма воды в баке: в 0 мин — 2 л, в 1 мин — 4 л, в 2 мин — 6 л, в 3 мин — 6 л, в 4 мин — 8 л. Построй график с подписями осей и единицами; соседние точки соедини отрезками. Назови участок, на котором график горизонтален. Объясни, что об этом промежутке известно из самих измерений и можно ли по графику заключить, что в бак ничего не поступало и из него ничего не вытекало.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Отрезок между соседними точками — предположение о том, что было между измерениями: объём мог меняться и вернуться к 6 л. Даже если объём не менялся, приток и отток могли быть равны, поэтому вывод «потоков не было» из графика не следует. Для участка принимается и ответ «объём не менялся» по графику с отрезками, и ответ «между измерениями неизвестно». Критерии: оси с равномерными шкалами и единицами, пять точек, участок 2–3 мин, отделение измеренного от предположений и от причины.

   Проверь: Точки (0; 2), (1; 4), (2; 6), (3; 6), (4; 8); график горизонтален от 2 до 3 мин. Измерено лишь, что в 2 и 3 мин объём одинаков — 6 л. Отсутствие притока и оттока не доказано.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке