UrokDesk
Войти

Математика · 6 класс

Признаки делимости: задания для 5–6 классов

Признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10: 32 задания с проверкой, пропущенные цифры и 4 письменные работы с объяснениями. Повторение для 6 класса и практика темы 5 класса.

Потренируйся самостоятельно

Выбери отдельную тему или смешанный набор. После ответа появится объяснение.

Без регистрации · ответы можно записывать в тетради

Для преподавателя: выдать или распечатать набор

Выберите набор выше. По ссылке ученик решит его без кабинета, результаты появятся в ваших «Материалах».

Посмотрите, как организованы домашние задания. Разобрать ошибки на занятии можно на онлайн-доске.

Нужен вход преподавателя. Если вы уже сохраняли этот набор, откроется прежняя ссылка.

Пять признаков делимости

В этой тренировке рассматриваем натуральные числа 1, 2, 3, … . «Делится нацело» означает «делится без остатка». Если 48 = 6 · 8, то 6 — делитель 48, а 48 — кратное 6. Цифра 0 внутри записи натурального числа допустима; первая цифра многозначного числа не равна нулю.

На 2 делится число, последняя цифра которого 0, 2, 4, 6 или 8. Такие натуральные числа называют чётными. Например, 1258 делится на 2; число 1257 — нет.

На 5 делятся числа, оканчивающиеся цифрой 0 или 5; на 10 — только цифрой 0. Поэтому 2435 делится на 5, но не на 10; 2430 делится на оба числа, а также на 2.

На 3 делится число, сумма цифр которого делится на 3. На 9 — число, сумма цифр которого делится на 9. Сумма не обязана быть равной 3 или 9: число 468 с суммой цифр 18 делится и на 3, и на 9.

Чтобы заполнить пропуск, перебери допустимые цифры и проверь сумму или последнюю цифру. Например, для 2*4 и делителя 3 подходят цифры 0, 3, 6, 9. Если требуется одна цифра, читай уточнение: наименьшая, наибольшая или единственная.

Связка «и» требует выполнить оба условия. «Делится на 3, но не на 2» означает сумму цифр, кратную 3, и нечётную последнюю цифру. Например, 123 подходит, а 126 — нет.

Утверждение «если делится на 9, то делится на 3» верно. Обратное неверно: у числа 12 сумма цифр 3 — она кратна трём, но не кратна девяти. Для опровержения достаточно одного контрпримера, в котором исходное условие выполнено, а вывод — нет.

Сначала выбери признак → проверь последнюю цифру или вычисли сумму цифр → запиши вывод. В письменных работах объясни решение. Признаки на 4 и 6, на 8 и 11, алгоритмы НОД и НОК в этот набор не входят.

Вернуться к тренажёру →

4 письменные работы с объяснением

Выполни работу на бумаге: перечисли все ответы, запиши признаки и объясни вывод. Свободное рассуждение проверяют по критериям вместе с преподавателем; совпадение с одной строкой ответа не требуется.

  1. Для каждого числа 126, 235, 540, 809 перечисли все его делители из списка 2, 3, 5, 9, 10. Составь таблицу с отметками «да/нет» и обоснуй ответы последней цифрой и суммой цифр.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Последние цифры соответственно 6, 5, 0, 9; суммы цифр — 9, 10, 9, 17. По последней цифре проверяют 2, 5, 10, по сумме — 3, 9. Полный ответ содержит все 20 отметок, а объяснение — оба вида проверки для каждого числа.

    Проверь: 126: 2, 3, 9; 235: 5; 540: 2, 3, 5, 9, 10; 809: ни одного из списка.

  2. Найди все цифры, которыми можно заменить звёздочку в записи 7*2, чтобы число делилось на 9. Запиши получившиеся числа. Объясни, почему список полон.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Сумма цифр 7 + * + 2 = 9 + *. При * от 0 до 9 она лежит от 9 до 18 включительно. Кратные 9 здесь — 9 и 18, значит подходят 0 и 9. Оба числа трёхзначные: ноль находится в середине, а не в начале. Нужны оба варианта и обоснование полноты.

    Проверь: Цифры 0 и 9; числа 702 и 792.

  3. Ученик считает, что число делится на 3 только тогда, когда сумма его цифр равна 3. Исправь правило и приведи два натуральных числа с разными суммами цифр, которые опровергают его утверждение. Проверь оба.

    Разбор и ориентиры для проверки

    У 24 сумма цифр 6, у 57 — 12: обе кратны 3 и отличаются от 3. Сами числа делятся на 3: 24 : 3 = 8, 57 : 3 = 19. Допускаются любые два натуральных числа с разными суммами цифр, кратными 3 и не равными 3, с верной проверкой.

    Проверь: Сумма цифр должна делиться на 3, а не обязательно равняться 3. Например, 24 и 57.

  4. В школьной мастерской 437 одинаковых бусин. Их хотят распределить поровну без остатка между 9 учениками. Можно ли это сделать сейчас? Сколько бусин надо добавить как минимум и сколько тогда получит каждый?

    Разбор и ориентиры для проверки

    Сумма цифр 437 равна 14, поэтому число не делится на 9. 437 = 9 · 48 + 5; до следующего кратного не хватает 4. Получаем 441, сумма цифр 9, и 441 : 9 = 49. Добавления 1, 2, 3 не устраняют остаток. В критерии входят вывод, минимальность добавления и количество у каждого ученика.

    Проверь: Сейчас нельзя. Добавить 4 бусины; каждый получит 49.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Последняя цифра

Признаки делимости по последней цифре: отбор чисел, совместные условия и контрпример.

  1. Какое число делится нацело на 2?

    Варианты: 1) 1835; 2) 1836; 3) 1839

    Ответ и объяснение

    Ответ: 1836

    На 2 делятся числа, оканчивающиеся цифрами 0, 2, 4, 6, 8. У числа 1836 последняя цифра 6.

  2. Какое число делится нацело на 5?

    Варианты: 1) 3412; 2) 3418; 3) 3415

    Ответ и объяснение

    Ответ: 3415

    Последняя цифра должна быть 0 или 5. У числа 3415 это 5; две другие записи оканчиваются цифрами 2 и 8.

  3. Какое число делится нацело на 10?

    Варианты: 1) 6275; 2) 6270; 3) 6272

    Ответ и объяснение

    Ответ: 6270

    Признак делимости на 10 — последняя цифра 0. Число 6275 делится на 5, но на 10 не делится.

  4. На какие из чисел 2, 5, 10 делится 4310?

    Варианты: 1) Только на 2; 2) На 2, 5 и 10; 3) Только на 5 и 10

    Ответ и объяснение

    Ответ: На 2, 5 и 10

    Последняя цифра 0: она чётная, подходит для делимости на 5 и является признаком делимости на 10. Все три делителя подходят.

  5. Сколько чисел в списке 134, 245, 306, 517, 628 делятся нацело на 2?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 3

    Подходят 134, 306 и 628: их последние цифры 4, 6 и 8 чётные. Всего три числа.

  6. Натуральное число делится на 5, но не на 10. Какова его последняя цифра?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    Для делимости на 5 возможны 0 и 5. Окончание 0 даёт делимость на 10, поэтому остаётся цифра 5.

  7. Сколько из чисел 2, 5 и 10 являются делителями числа 2480?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 3

    2480 оканчивается нулём, значит делится на 2, на 5 и на 10. Ответ — количество подходящих делителей: 3.

  8. Выбери контрпример: «Если число делится на 2, то делится и на 10».

    Варианты: 1) 20; 2) 35; 3) 18

    Ответ и объяснение

    Ответ: 18

    18 делится на 2, но не делится на 10. Число 20 делится на оба числа, а 35 не выполняет исходное условие делимости на 2.

Потренировать эту тему →

Сумма цифр

Делимость на 3 и 9: вычисление суммы, различение признаков и проверка утверждений.

  1. Делится ли число 5724 нацело на 9?

    Варианты: 1) Да: сумма цифр 18 делится на 9; 2) Нет: последняя цифра 4; 3) Нет: в записи нет цифры 9

    Ответ и объяснение

    Ответ: Да: сумма цифр 18 делится на 9

    5 + 7 + 2 + 4 = 18, а 18 делится на 9. Поэтому 5724 тоже делится на 9; последняя цифра для этого признака недостаточна.

  2. Какой вывод о числе 8142 верен?

    Варианты: 1) Делится и на 3, и на 9; 2) Не делится ни на 3, ни на 9; 3) Делится на 3, но не на 9

    Ответ и объяснение

    Ответ: Делится на 3, но не на 9

    8 + 1 + 4 + 2 = 15. Число 15 делится на 3, но не на 9. Такой же вывод верен для 8142.

  3. Вычисли сумму цифр числа 4362, которую используют для проверки делимости на 3 и на 9.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 15

    4 + 3 + 6 + 2 = 15. Это сумма цифр, а не результат деления самого числа.

  4. Какая из этих сумм цифр означает, что натуральное число делится на 9?

    Варианты: 1) 12; 2) 18; 3) 21

    Ответ и объяснение

    Ответ: 18

    Из предложенных сумм на 9 делится только 18. Сумма не обязана равняться именно 9: подходят 9, 18, 27 и другие положительные кратные 9.

  5. Сколько чисел в списке 205, 312, 418, 525, 634 делятся на 3?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 2

    Суммы цифр: 7, 6, 13, 12, 13. На 3 делятся суммы 6 и 12, поэтому подходят 312 и 525: два числа.

  6. «Число, оканчивающееся цифрой 9, всегда делится на 9». Какой пример опровергает это утверждение?

    Варианты: 1) 19; 2) 99; 3) 27

    Ответ и объяснение

    Ответ: 19

    19 оканчивается цифрой 9, но сумма цифр 10 не делится на 9. У числа 99 сумма 18, а 27 вообще не оканчивается цифрой 9.

  7. Сколько чисел в списке 111, 234, 603, 725, 918 делятся на 9?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 3

    Суммы цифр: 3, 9, 9, 14, 18. Подходят 234, 603 и 918 — всего три числа.

  8. Если натуральное число делится на 9, что можно сказать о делимости на 3?

    Варианты: 1) Обязательно делится на 3; 2) Обязательно не делится на 3; 3) Нужно проверить только последнюю цифру

    Ответ и объяснение

    Ответ: Обязательно делится на 3

    Сумма цифр делится на 9, а значит и на 3, поскольку 9 = 3 · 3. Следовательно, выполняется признак делимости на 3.

Потренировать эту тему →

Пропущенная цифра

Единственная, наименьшая или наибольшая цифра; количество подходящих вариантов.

  1. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки в записи 47*, чтобы число делилось на 9?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7

    Сумма цифр 4 + 7 + * = 11 + *. При цифрах от 0 до 9 она меняется от 11 до 20. Единственное кратное 9 здесь — 18, значит нужна цифра 7: 477.

  2. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки в записи 62*, чтобы число делилось на 5, но не на 10?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    Для делимости на 5 последняя цифра 0 или 5. Ноль дал бы делимость на 10, поэтому подходит только 5: число 625.

  3. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки в записи *54, чтобы получить трёхзначное число, делящееся на 9?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 9

    Первая цифра не может быть нулём. Сумма цифр * + 5 + 4 = * + 9 должна делиться на 9. Из цифр от 1 до 9 подходит только 9: число 954.

  4. Какую наименьшую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 5*2, чтобы число делилось на 3?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 2

    Сумма цифр 7 + *. Подходят цифры 2, 5 и 8: суммы 9, 12 и 15. Наименьшая из подходящих цифр — 2.

  5. Какую цифру нужно поставить вместо звёздочки в записи 3*8, чтобы число делилось на 9?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7

    Сумма цифр 11 + * должна быть кратной 9. Из значений от 11 до 20 подходит 18, поэтому * = 7. Получается 378.

  6. Сколько разных цифр можно поставить вместо звёздочки в записи 4*2, чтобы число делилось на 3?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 4

    Сумма цифр 6 + *. Подходят 0, 3, 6, 9: получаются суммы 6, 9, 12, 15. Это четыре цифры; ответом требуется их количество.

  7. Сколько разных цифр можно поставить вместо звёздочки в записи 8*1, чтобы число делилось на 9?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 2

    Сумма цифр 9 + *. Подходят обе цифры 0 и 9: получаются 801 и 891 с суммами 9 и 18. Всего два варианта.

  8. Какую наибольшую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 72*, чтобы число делилось на 2, но не на 5?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 8

    Для делимости на 2 подходят 0, 2, 4, 6, 8. Цифра 0 дала бы делимость на 5, её исключаем. Наибольшая из оставшихся цифр — 8.

Потренировать эту тему →

Несколько условий

Сочетай признаки, найди ближайшее кратное и реши задачу о распределении.

  1. Какое число делится и на 3, и на 5?

    Варианты: 1) 7210; 2) 7218; 3) 7245

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7245

    7245 оканчивается на 5, сумма цифр 18 делится на 3. У 7210 сумма цифр 10, а 7218 не оканчивается на 0 или 5.

  2. Какое число делится на 3, но не делится на 2?

    Варианты: 1) 4875; 2) 4890; 3) 4812

    Ответ и объяснение

    Ответ: 4875

    У 4875 сумма цифр 24 делится на 3, последняя цифра 5 нечётная. Два других числа оканчиваются чётными цифрами и не выполняют условие «не на 2».

  3. Какое наименьшее натуральное число нужно прибавить к 434, чтобы сумма делилась на 9?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 7

    434 = 9 · 48 + 2. До следующего кратного 9 не хватает 7: 434 + 7 = 441, сумма цифр 9. Прибавления от 1 до 6 не дают кратного 9.

  4. Сколько из чисел 2, 3, 5, 9 и 10 являются делителями числа 3780?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 5

    Последняя цифра 0 даёт делимость на 2, 5 и 10. Сумма цифр 18 даёт делимость на 3 и 9. Подходят все пять чисел.

  5. Есть 215 карандашей. Какое наименьшее число карандашей надо добавить, чтобы разложить их в 9 одинаковых пакетов поровну и без остатка?

    Ответ и объяснение

    Ответ: 1

    Следующее число 216 имеет сумму цифр 9 и делится на 9. Достаточно добавить один карандаш: в каждом пакете будет 216 : 9 = 24 карандаша.

  6. Найди наименьшее трёхзначное число, которое делится и на 3, и на 10.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 120

    Трёхзначные кратные 10 начинаются с 100, 110, 120. Суммы цифр 1, 2, 3; первым на 3 делится 120.

  7. Ученик сказал: «Любое число, делящееся на 3, делится и на 9». Какой пример показывает ошибку?

    Варианты: 1) 81; 2) 42; 3) 19

    Ответ и объяснение

    Ответ: 42

    42 делится на 3, но не на 9: сумма цифр 6. Число 81 делится на оба, а 19 не делится на 3 и не проверяет исходное условие.

  8. Найди наибольшее двузначное число, которое делится и на 9, и на 5.

    Ответ и объяснение

    Ответ: 90

    Двузначные кратные 5 должны оканчиваться на 0 или 5. Число 95 не делится на 9: сумма цифр 14. Число 90 подходит: сумма цифр 9; больших двузначных кратных 5, кроме 95, нет.

Потренировать эту тему →

Вопросы о тренировке

Как записывать ответ?

Вводи одну цифру, количество вариантов или число — именно то, что спрашивается. В записи со звёздочкой она обозначает пропущенную цифру, а не знак умножения. В числовых заданиях проверка сравнивает точные значения: равные дроби принимаются, приближение вместо точного ответа — нет, если условие не просит округлить число.

Для какого класса эта тренировка?

По ФРП 2025 признаки на 2, 3, 5, 9, 10 входят в 5 класс. Здесь есть упражнения по теме и повторение для 6 класса; в каталоге выбран 6 класс. Порядок подачи сверён с указанным учебником.

Должна ли сумма цифр равняться 3 или 9?

Нет. Она должна делиться на соответствующее число. Сумма 18, например, подходит и для делимости на 3, и для делимости на 9.

А как быть с числом ноль?

Основной банк использует натуральные числа, начиная с 1. Если отдельно рассматривать натуральные числа и нуль, то 0 делится без остатка на 2, 3, 5, 9 и 10: частное равно 0. Это не деление на нуль, которое запрещено.

Есть ли здесь признаки на 4, 6, 8 и 11?

Нет: этот набор посвящён пяти признакам 2, 3, 5, 9, 10. В ФРП 6 класса отдельно предусмотрено исследование условий делимости на 4 и 6; его не подменяет эта короткая тренировка.

Это подготовка к ВПР или ОГЭ?

Это авторские упражнения по теме школьной программы. Они помогают практиковать отдельные умения, но не являются официальным вариантом или полным курсом подготовки к экзамену. Состав и критерии конкретной работы нужно проверять отдельно.

Программа и границы проверки

Основа — федеральная рабочая программа по математике для 5–9 классов, базовый уровень, редакция 2025 года: содержание и действия 5 класса, с. 14, 22; повторение и развитие в 6 классе, с. 15, 30. Дата сверки — 28 сентября 2026 года. Последовательность изучения в вашем учебнике может отличаться: выбирайте уже пройденные темы.

Учебник из федерального перечня: Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков и др. «Математика. 5 класс», базовый уровень, Просвещение. Делители, кратные и признаки делимости по оглавлению и планированию издательства — пп. 18–19, 5 класс; в 6 классе продолжение — разложение на простые множители, НОД и НОК. Задания авторские.

Задания и объяснения созданы для Урокдеска. Проверяется число, пара значений x и y, краткий текстовый ответ или выбранный вариант; ход рассуждения автоматически не оценивается. Все задания независимо перерешаны и сверены с федеральной программой 29 сентября 2026 года. Проверка учителем-предметником пока не проводилась.

Другие темы для тренировки

Обыкновенные дроби · 5–6 классы · Задачи на проценты · 6 класс · Десятичные дроби · 5 класс · Линейные уравнения · 7 класс · Пропорции · 6 класс · Таблицы и столбчатые диаграммы · 5 класс · Статистические характеристики · 7 класс · Смежные и вертикальные углы · 7 класс · Признаки равенства треугольников · 7 класс · Подобие треугольников · 8 класс · Многочлены · 7 класс · Задачи на движение · 5 класс · НОД и НОК · 6 класс · Положительные и отрицательные числа · 6 класс · Степень с натуральным показателем · 7 класс · Формулы сокращённого умножения · 7 класс · Линейная функция · 7 класс · Системы уравнений · 7 класс · Рациональные дроби · 8 класс · Квадратные корни · 8 класс · Квадратные уравнения · 8 класс · Линейные неравенства · 8 класс · Теорема Пифагора · 8 класс · Площадь и периметр · 5 класс · Углы и транспортир · 5 класс · Классическая вероятность · 8 класс · Простые уравнения · 5 класс · Уравнения с дробями и числами со знаком · 6 класс · Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат · 8 класс · Трапеция · 8 класс · Равнобедренный треугольник · 7 класс · Площади треугольника и четырёхугольников · 8 класс · Частота события и случайный опыт · 7 класс · Графы: вершины, рёбра, пути · 7 класс · Множества и диаграммы Эйлера · 8 класс · Дерево опыта и вероятности · 8 класс · Разброс данных и диаграмма рассеивания · 8 класс · Натуральные числа и порядок действий · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 5 класс · Цена, количество, стоимость · 6 класс · Задачи на работу · 5 класс · Производительность и работа · 6 класс · Объём куба и параллелепипеда · 5 класс · Координатная плоскость · 6 класс · Осевая симметрия · 6 класс · Центральная симметрия · 6 класс · Окружность и круг · 6 класс · Целые показатели и стандартный вид · 8 класс · Дробно-рациональные уравнения · 8 класс · График y=x² · 7 класс · График y=x³ · 7 класс · Обратная пропорциональность · 8 класс · График квадратного корня · 8 класс · Параллельные прямые и секущая · 7 класс · Углы треугольника · 7 класс · Высота, медиана, биссектриса · 7 класс · Построения циркулем и линейкой · 7 класс · Хорды и диаметры · 7 класс · Касательная к окружности · 7 класс · Серединный перпендикуляр · 7 класс · Теорема Фалеса · 8 класс · Средние линии · 8 класс · Синус, косинус, тангенс · 8 класс · Центральные и вписанные углы · 8 класс · Деление в столбик · 4 класс · Таблица умножения · 3 класс · Умножение в столбик · 4 класс · Деление с остатком · 3 класс · Табличное деление · 3 класс · Сложение и вычитание в столбик · 3 класс · Состав числа и дополнение до 10 и 20 · 1 класс · Переход через десяток: дополнительно, 2 класс · 1 класс · Перевод единиц длины и массы · 3–4 классы · Текстовые задачи в два-три действия · 2–3 классы · Биквадратные уравнения · 9 класс · Квадратичная функция · 9 класс · Векторы и действия с ними · 9 класс · Метод координат · 9 класс · Системы нелинейных уравнений · 9 класс · Тригонометрия и теорема косинусов · 9 класс · Теорема синусов · 9 класс · Скалярное произведение · 9 класс · Арифметическая прогрессия · 9 класс · Геометрическая прогрессия · 9 класс · Сложные проценты · 9 класс · Функция y = |x| · 7 класс · Многоугольники, дуги и секторы · 9 класс · Движения плоскости · 9 класс · Порядок действий · 2–3 классы · Время и календарь · 3–4 классы · Разряды многозначных чисел · 4 класс · Перестановки и сочетания · 9 класс · Числовые последовательности · 9 класс · Квадратные неравенства и метод интервалов · 9 класс · Квадратный трёхчлен · 8 класс · Графики функций · 9 класс · Уравнения окружности и прямой · 9 класс · Геометрическая вероятность · 9 класс · Испытания Бернулли · 9 класс · Сравнение чисел · 1 класс · Сложение и вычитание до 10 · 1 класс · Сложение и вычитание до 100 · 2 класс · Сантиметр, дециметр, метр · 2 класс · Площадь прямоугольника · 3 класс · Доли величины · 3 класс · Скорость, время, расстояние · 4 класс · Периметр · 2 класс · Внетабличное умножение и деление · 3 класс · Неизвестный компонент · 3–4 классы · Масса и вместимость · 3–4 классы · Сложение и вычитание многозначных чисел · 4 класс · Доля и целое по доле · 4 класс · генератор математических примеров · все тренажёры для школьников · все бесплатные инструменты.