Геометрические построения циркулем и линейкой, 7 класс

Построение, обоснование и существование

Линейка без делений проводит прямую через две заданные точки; циркуль строит окружность с заданным центром и радиусом. Измерять длину делениями линейки в классической задаче на построение нельзя.

В решении сохрани вспомогательные дуги, опиши шаги и объясни, почему они дают нужное свойство. Точное совпадение на рисунке без обоснования недостаточно.

До построения треугольника по трём сторонам проверь неравенства треугольника. Если условия несовместимы, правильный итог — невозможность построения с объяснением.

Вернуться к тренажёру →

Объясни и докажи

Выполни задания в тетради или на печатном листе. Запиши решение и его проверку; для рисунка выбери масштаб и подпиши данные. Критерии допускают другой верный ход решения. Автоматическая проверка короткого ответа не оценивает эту работу.

1. Начерти отрезок AB. Циркулем и линейкой без делений построй на нём точку M, для которой AM = 3 · MB. Сохрани дуги и обоснуй каждый шаг.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Каждую середину строят дугами одного радиуса, большего половины отрезка, и прямой через две точки их пересечения. Нужно доказать, что построенная точка — середина: точки пересечения дуг равноудалены от концов отрезка, поэтому прямая через них — серединный перпендикуляр. Затем подсчёт: MB = CB : 2 = AB : 4, AM = AC + CM = AB : 2 + AB : 4. Допускается другой верный порядок; измерение делениями не засчитывается.

   Проверь: Сначала строится середина C отрезка AB, затем середина M отрезка CB. Тогда MB = AB : 4 и AM = AB − MB = 3 · MB.

2. Начерти произвольный угол от 0° до 180°, не включая границы, и отдельно луч с началом O. Отложи от этого луча угол, равный исходному, циркулем и линейкой без делений. Угол можно построить по любую сторону от луча. Докажи равенство.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Дугу у исходной вершины проводят до обеих сторон; тот же радиус — у O; расстояние между исходными пересечениями переносят циркулем. Принимается построение по любую сторону от луча. Сохраняются дуги.

   Проверь: Перенос радиуса дуги и хорды; равенство вспомогательных треугольников по трём сторонам.

3. Начерти прямую a и отметь на ней точку O. Циркулем и линейкой без делений построй угол 45° с вершиной O, одна сторона которого лежит на прямой a. Сохрани дуги и обоснуй построение.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Перпендикуляр: окружность с центром O пересекает a в точках P и Q, O — середина PQ; дуги одного радиуса, большего OP, с центрами P и Q пересекаются в точке R, и прямая OR — серединный перпендикуляр к PQ, поэтому ∠ROQ = 90°. Биссектрису угла ROQ строят и обосновывают через равные треугольники. Нужны дуги и обоснование обоих шагов; допускается другой верный путь.

   Проверь: Сначала строится перпендикуляр к прямой a в точке O, затем биссектриса одного из получившихся прямых углов; каждая её половина равна 90° : 2 = 45°.

4. Начерти прямую l и отметь точку P вне неё. Построй перпендикуляр из P к l циркулем и линейкой без делений. Обоснуй построение.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Выбран радиус больше расстояния до l, чтобы было два пересечения. PA = PB, значит P принадлежит серединному перпендикуляру. Требуются дуги и доказательство прямого угла.

   Проверь: Окружность центра P пересекает l в A, B; построен серединный перпендикуляр к AB, проходящий через P.

5. Подготовь измерительной линейкой три исходных отрезка длинами 4, 5 и 6 см. Затем убери её и построй треугольник по этим отрезкам циркулем и линейкой без делений. Докажи и обсуди существование.

   Разбор и ориентиры для проверки

   4 + 5 > 6 и остальные неравенства выполнены; два зеркальных положения дают равные треугольники. Каждая сторона равна заданному отрезку как радиус. Приведён случай отсутствия или вырождения при нарушении строгого неравенства.

   Проверь: Основание — отрезок одной из данных длин, две окружности с радиусами двух других длин, третья вершина — в точке их пересечения.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке