Рациональные дроби: задания для 8 класса

Как преобразовывать рациональные дроби

Рациональная (алгебраическая) дробь — отношение двух многочленов; знаменатель не является нулевым многочленом. При подстановке значений он не должен обращаться в нуль. Например, для $\frac{\text{x + 1}}{\text{x(x − 5)}}$ нужно x ≠ 0 и x ≠ 5. Значения переменной, при которых дробь имеет смысл, называют допустимыми значениями переменной. Нулевой числитель разрешён.

Сокращают общие множители числителя и знаменателя. Сначала разложи многочлены: $\frac{\text{x² − 36}}{\text{x − 6}}$ = $\frac{\text{(x − 6)(x + 6)}}{\text{x − 6}}$ = x + 6 при x ≠ 6. Значение 6 остаётся запрещённым для исходной дроби, хотя в конечной записи знаменателя уже нет. Слагаемые через знак плюс или минус сокращать нельзя.

Чтобы складывать или вычитать дроби, приведи их к общему знаменателю. Например, $\frac{\text{1}}{\text{2a}}$ + $\frac{\text{1}}{\text{3a}}$ = $\frac{\text{3}}{\text{6a}}$ + $\frac{\text{2}}{\text{6a}}$ = $\frac{\text{5}}{\text{6a}}$, a ≠ 0. При вычитании ставь второй числитель в скобки: знак минус меняет знак каждого его слагаемого.

Для произведения умножь числители и знаменатели; общие множители удобно сокращать до умножения. При делении первую дробь умножают на обратную второй. В $\frac{\text{A}}{\text{B}}$ : $\frac{\text{C}}{\text{D}}$ = $\frac{\text{A · D}}{\text{B · C}}$ должны выполняться B ≠ 0, D ≠ 0 и C ≠ 0: обе исходные дроби определены и делитель ненулевой.

Натуральную степень дроби находят, возводя в эту степень весь числитель и весь знаменатель. Например, ($\frac{\text{a}}{\text{2b}}$)³ = $\frac{\text{a³}}{\text{8b³}}$ при b ≠ 0. В цепочке действий сначала учитывай скобки, затем степени, умножение и деление, затем сложение и вычитание.

В тетради записывай ограничения исходного выражения → разложение на множители или общий знаменатель → промежуточные преобразования → окончательный ответ с ограничениями. При подстановке сначала убедись, что значение допустимо. Эквивалентная запись ответа разрешена; одного совпадения в одной точке недостаточно, чтобы доказать тождество.

Короткая тренировка проверяет отдельные шаги и результат. Для полноценной практики ниже есть 16 письменных заданий с разбором. Рациональные уравнения, график обратной пропорциональности и разложение через дискриминант в эту страницу не входят.

Вернуться к тренажёру →

16 письменных заданий с решениями

Это самостоятельные преобразования, а не выбор ответа. В каждом задании запиши ограничения исходного выражения, промежуточные действия и результат. В разборе приведён один способ; другие равносильные преобразования допустимы. Ход решения проверяется вместе с преподавателем.

1. Сократи $\frac{\text{10a²b}}{\text{15ab²}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Исходный знаменатель 15ab² ненулевой при a ≠ 0 и b ≠ 0. Общий множитель — 5ab: $\frac{\text{5ab · 2a}}{\text{5ab · 3b}}$ = $\frac{\text{2a}}{\text{3b}}$. Ограничение a ≠ 0 не исчезает после сокращения.

   Проверь: $\frac{\text{2a}}{\text{3b}}$; a ≠ 0, b ≠ 0.

2. Сократи $\frac{\text{x² − 25}}{\text{x² + 5x}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   x² + 5x = x(x + 5), поэтому x ≠ 0, x ≠ −5. Разложим числитель: x² − 25 = (x − 5)⁠(x + 5). Сокращаем общий множитель x + 5 и получаем $\frac{\text{x − 5}}{\text{x}}$ с исходными ограничениями.

   Проверь: $\frac{\text{x − 5}}{\text{x}}$; x ≠ 0, x ≠ −5.

3. Сократи $\frac{\text{a² − 6a + 9}}{\text{a² − 9}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   a² − 9 = (a − 3)⁠(a + 3), значит a ≠ 3 и a ≠ −3. Числитель (a − 3)². Сокращаем один множитель a − 3: $\frac{\text{(a − 3)²}}{\text{(a − 3)(a + 3)}}$ = $\frac{\text{a − 3}}{\text{a + 3}}$. Оба ограничения сохраняются.

   Проверь: $\frac{\text{a − 3}}{\text{a + 3}}$; a ≠ 3, a ≠ −3.

4. Упрости $\frac{\text{4 − y}}{\text{y − 4}}$ и объясни знак результата.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Знаменатель не равен нулю при y ≠ 4. Числитель 4 − y = −(y − 4). Поэтому $\frac{\text{−(y − 4)}}{\text{y − 4}}$ = −1. Числитель и знаменатель противоположны, а не равны.

   Проверь: −1; y ≠ 4.

5. Выполни вычитание $\frac{\text{2x + 5}}{\text{x − 1}}$ − $\frac{\text{x − 3}}{\text{x − 1}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Оба знаменателя ненулевые при x ≠ 1. Числитель разности: (2x + 5) − (x − 3) = 2x + 5 − x + 3 = x + 8. Знаменатель x − 1 сохраняется, общего множителя для сокращения нет.

   Проверь: $\frac{\text{x + 8}}{\text{x − 1}}$; x ≠ 1.

6. Выполни сложение $\frac{\text{3}}{\text{4a}}$ + $\frac{\text{5}}{\text{6a}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   При a ≠ 0 общий знаменатель 12a. Дополнительные множители — 3 и 2: $\frac{\text{9}}{\text{12a}}$ + $\frac{\text{10}}{\text{12a}}$ = $\frac{\text{19}}{\text{12a}}$. Знаменатели не складываем.

   Проверь: $\frac{\text{19}}{\text{12a}}$; a ≠ 0.

7. Выполни вычитание $\frac{\text{2}}{\text{x − 3}}$ − $\frac{\text{x + 1}}{\text{x² − 9}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   x² − 9 = (x − 3)⁠(x + 3), откуда x ≠ 3, x ≠ −3. Дополнительный множитель первой дроби — x + 3. Получаем $\frac{\text{2(x + 3) − (x + 1)}}{\text{x² − 9}}$ = $\frac{\text{2x + 6 − x − 1}}{\text{x² − 9}}$ = $\frac{\text{x + 5}}{\text{x² − 9}}$.

   Проверь: $\frac{\text{x + 5}}{\text{x² − 9}}$; x ≠ 3, x ≠ −3.

8. Упрости x − 2 − $\frac{\text{x² − 5x + 4}}{\text{x − 1}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   x ≠ 1. Числитель группируем: x² − x − 4x + 4 = (x − 1)⁠(x − 4). Дробь равна x − 4 при x ≠ 1. Всё выражение x − 2 − (x − 4) = x − 2 − x + 4 = 2. Скобки после минуса обязательны.

   Проверь: 2; x ≠ 1.

9. Упрости произведение $\frac{\text{a² − 4}}{\text{3a}}$ · $\frac{\text{6a}}{\text{a + 2}}$.

   Разбор и ориентиры для проверки

   Исходные знаменатели требуют a ≠ 0 и a ≠ −2. a² − 4 = (a − 2)⁠(a + 2). После сокращения множителей a + 2 и a остаётся $\frac{\text{6(a − 2)}}{\text{3}}$ = 2(a − 2). Ограничения сохраняются.

   Проверь: 2(a − 2); a ≠ 0, a ≠ −2.

10. Выполни деление $\frac{\text{x² − 4}}{\text{x + 3}}$ : $\frac{\text{x − 2}}{\text{x + 3}}$.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Обе дроби определены при x ≠ −3; делитель ненулевой при x ≠ 2. Умножаем на обратную дробь: $\frac{\text{(x − 2)(x + 2)}}{\text{x + 3}}$ · $\frac{\text{x + 3}}{\text{x − 2}}$ = x + 2. Нельзя забывать ни исходный знаменатель, ни нулевой делитель.

    Проверь: x + 2; x ≠ −3, x ≠ 2.

11. Выполни деление $\frac{\text{m² − 9}}{\text{2m}}$ : (m + 3).

    Разбор и ориентиры для проверки

    Знаменатель требует m ≠ 0, делитель m + 3 — m ≠ −3. Деление на многочлен заменяем умножением на $\frac{\text{1}}{\text{m + 3}}$. После разложения m² − 9 = (m − 3)⁠(m + 3) сокращаем m + 3 и получаем $\frac{\text{m − 3}}{\text{2m}}$.

    Проверь: $\frac{\text{m − 3}}{\text{2m}}$; m ≠ 0, m ≠ −3.

12. Выполни возведение в степень: ($\frac{\text{3a²}}{\text{2b}}$)³.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Исходная дробь определена при b ≠ 0; a может равняться нулю. (3a²)³ = 3³(a²)³ = 27a⁶, (2b)³ = 8b³. Степень относится и к коэффициентам, и к переменным.

    Проверь: $\frac{\text{27a⁶}}{\text{8b³}}$; b ≠ 0.

13. Упрости ($\frac{\text{1}}{\text{x − 1}}$ − $\frac{\text{1}}{\text{x + 1}}$) · $\frac{\text{x² − 1}}{\text{4}}$.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Допустимые значения: x ≠ 1 и x ≠ −1. В скобках общий знаменатель x² − 1, числитель (x + 1) − (x − 1) = 2. Затем $\frac{\text{2}}{\text{x² − 1}}$ · $\frac{\text{x² − 1}}{\text{4}}$ = $\frac{\text{1}}{\text{2}}$. Сокращать можно при допустимых значениях исходного выражения.

    Проверь: $\frac{\text{1}}{\text{2}}$; x ≠ 1, x ≠ −1.

14. Упрости ($\frac{\text{x + 1}}{\text{x}}$ − $\frac{\text{x}}{\text{x − 1}}$) : $\frac{\text{1}}{\text{x(x − 1)}}$.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Все знаменатели ненулевые при x ≠ 0, x ≠ 1; делитель с числителем 1 на этой области не равен нулю. В скобках $\frac{\text{(x + 1)(x − 1) − x²}}{\text{x(x − 1)}}$ = $\frac{\text{−1}}{\text{x(x − 1)}}$. Умножаем на обратную дробь x(x − 1), получаем −1 с исходными ограничениями.

    Проверь: −1; x ≠ 0, x ≠ 1.

15. Упрости $\frac{\text{2x² − 8}}{\text{x² − 4x + 4}}$ и найди значение при x = 6. Объясни, почему x = 2 использовать нельзя.

    Разбор и ориентиры для проверки

    Знаменатель (x − 2)², значит x ≠ 2. Числитель 2(x − 2)⁠(x + 2). Сократив один множитель x − 2, получаем $\frac{\text{2(x + 2)}}{\text{x − 2}}$. При допустимом x = 6: $\frac{\text{2 · 8}}{\text{4}}$ = 4. При x = 2 исходный знаменатель равен нулю: значение выражения не существует.

    Проверь: $\frac{\text{2(x + 2)}}{\text{x − 2}}$; x ≠ 2; при x = 6 значение 4.

16. Ученик написал $\frac{\text{x + 4}}{\text{x}}$ = 4, «сократив x». Найди ошибку, запиши верное преобразование и проверь обе записи при x = 2.

    Разбор и ориентиры для проверки

    В числителе x — слагаемое, а не общий множитель всего числителя и знаменателя. Делим каждое слагаемое на x: $\frac{\text{x}}{\text{x}}$ + $\frac{\text{4}}{\text{x}}$ = 1 + $\frac{\text{4}}{\text{x}}$, x ≠ 0. При x = 2 получаем 1 + 2 = 3. Одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть ошибочное тождество; верное преобразование обосновано правилом деления суммы.

    Проверь: $\frac{\text{x + 4}}{\text{x}}$ = 1 + $\frac{\text{4}}{\text{x}}$ при x ≠ 0. При x = 2 исходное значение 3, а ошибочная запись даёт 4.

Задания с ответами и объяснениями

Сначала реши задание самостоятельно, затем открой объяснение.

Вопросы о тренировке